C++で指定された辺の長さを持つn辺の正多角形の面積を求める方法

この記事では、指定された辺の長さを持つn辺の正多角形の面積を求める問題を取り上げ、図形の面積を計算する公式を導出し、それに基づいたプログラムを作成します。まず、内容を理解しやすくするために、基本事項をおさらいしましょう。

基本事項のおさらい

n辺の正多角形とは、すべての辺の長さが等しいn個の辺を持つ多角形のことです。例えば、正五角形や正六角形などが挙げられます。

面積とは、二次元の図形が占める広がりの大きさを数量的に表したものです。

面積公式の導出

正多角形の面積を求めるには、図形を構成する個々の三角形の面積を求め、それに辺の数nを掛けます。正多角形は、中心を共有する頂点としてn個の二等辺三角形に分割できるためです。

正多角形の各辺は、底辺a（多角形の辺の長さ）と中心角360/n（その半分が180/n、nは多角形の辺の数）を持つ1つの三角形を構成します。したがって、面積は次の公式で求められます。

三角形の面積 = ½ × 底辺 × 高さ

ここで、高さhは次のように表せます。

h = a / (2 × tan(180/n))

よって、1つの三角形の面積は次のとおりです。

面積 = ½ × a × a / (2 × tan(180/n))
= a × a / (4 × tan(180/n))

この公式を正多角形を構成する各三角形に適用することで、多角形全体の面積を求めることができます。

n辺の正多角形の面積 = n × (a × a / (4 × tan(180/n)))

アルゴリズム

ステップ1：(180 / n) で角度の値を計算する
ステップ2：n × (a × a / (4 × tan(180/n))) で正多角形の面積を計算する
ステップ3：多角形の面積を出力する

実装例

以下は、C++による実装例です。tan関数はラジアンを引数として受け取るため、角度を度からラジアンへ変換（× 3.14159 / 180）している点に注意してください。

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int main(){
    float a = 12, n = 9;
    float area=(a * a * n) / (4 * tan((180 / n) * 3.14159 / 180));
    cout<<"The area of "<<n<<" sided regular polygon of side "<<a<<" is "<<area;
    return 0;
}

出力

The area of 9 sided regular polygon of side 12 is 890.183

このプログラムでは、辺の長さ12、辺の数9の正九角形の面積を計算しており、実行結果は約890.183となります。