第n項が n² − (n−1)² となる級数の総和を求めるC/C++プログラム

本記事では、第n項が n² − (n−1)² で表される級数の総和を求める方法を解説します。級数の一般項は次のように定義されます。

T_n = n² − (n−1)²

級数の形を確認する

n = 1, 2, 3, … と順に代入すると、この級数は次のように展開されます。

S = 1 + 3 + 5 + 7 + …

つまり、これは「最初のn個の奇数」を足し合わせた級数です。

一般項の簡単化

一般項を展開して整理すると、

T_n = n² − (n² − 2n + 1) = 2n − 1

となり、初項から第n項までの総和はよく知られた公式により S = n² であることが分かります。

したがって、求めるべき値は単純に n の2乗です。ただし n が非常に大きくなる場合を考慮し、結果を 10⁹ + 7 で割った余り（mod）として出力します。

アルゴリズム

1. 整数 n を入力として受け取る。
2. (n mod (10⁹+7)) × (n mod (10⁹+7)) を計算する。
3. さらに 10⁹+7 で割った余りを結果として返す。

C++での実装例

#include<iostream>
#define X 1000000007
using namespace std;
long long getSum(long long n) {
   return ((n % X) * (n % X)) % X;
}
int main() {
   long long n = 56789;
   cout << getSum(n);
}

出力

224990500

コードの解説

getSum() 関数では、掛け算を実行する前にあらかじめ n を X（= 10⁹ + 7）で割った余りに置き換えています。64bit整数同士の積でも桁あふれ（オーバーフロー）が発生しうるため、この前処理によって安全に計算できるのがポイントです。最後にもう一度 X で剰余を取ることで、正しい結果が得られます。

たとえば n = 56789 の場合、56789² = 3,224,990,521 となり、これを 1,000,000,007 で割った余りは 224990500 となります。