C言語でcos(x)級数の合計を計算するプログラム

本記事では、角度 x と項数 n が与えられたときに、cos(x)級数の合計を求めるC言語プログラムを解説します。ここで、x は余弦（コサイン）を求める角度、n は cos(x) 級数に含める項の数を表します。

cos(x)とは

cos(x) は三角関数の一つで、角度 x に対する余弦の値を計算するために使用される関数です。単位円上では、角度 x における点の x座標が cos(x) の値に対応します。

数式

cos(x) は以下のように無限級数（マクローリン展開）で表すことができます。

$$\cos (x) = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k!)}x^{2k}$$

cos(x)級数の展開

この級数を展開すると、次のような形になります。

cos(x) = 1 − (x² / 2!) + (x⁴ / 4!) − (x⁶ / 6!) + (x⁸ / 8!)……

各項の符号が交互に入れ替わり、偶数次の冪乗と階乗を使って表現されている点が特徴です。項数 n を増やすほど、実際の cos(x) の値に近づいていきます。

実行例

入力：x = 10, n = 3
出力：0.984804

入力：x = 8, n = 2
出力：0.990266

プログラムのアプローチ

• x と n の値を入力として受け取る
• cos(x)級数を計算するための公式を適用する
• 級数全体の合計として結果を出力する

アルゴリズム

開始
ステップ1：const double PI = 3.142 を宣言・初期化する
ステップ2：関数 double series_sum(double x, int n) 内で
    x = x * (PI / 180.0) を設定（角度を度からラジアンへ変換）
    result = 1 を設定
    s = 1, fact = 1, pow = 1 を設定
    i = 1 から i < 5 の間、i++ しながらループ処理：
        s = s * -1 を設定
        fact = fact * (2 * i - 1) * (2 * i) を設定
        pow = pow * x * x を設定
        result = result + s * pow / fact を設定
    ループ終了
    result を返す
ステップ3：関数 int main() 内で
    x = 10 を宣言・設定
    n = 3 を宣言・設定
    series_sum(x, n) の結果を出力
終了

C言語サンプルコード

#include <stdio.h>
const double PI = 3.142;
// cos(x)の合計を返す関数
double series_sum(double x, int n) {
    x = x * (PI / 180.0);
    double result = 1;
    double s = 1, fact = 1, pow = 1;
    for (int i = 1; i < 5; i++) {
        s = s * -1;
        fact = fact * (2 * i - 1) * (2 * i);
        pow = pow * x * x;
        result = result + s * pow / fact;
    }
    return result;
}
// main関数
int main() {
    float x = 10;
    int n = 3;
    printf("%lf\n", series_sum(x, n));  
    return 0;
}

出力結果

X=10; n=3 → 0.984804
X=13; n=8 → 0.974363
X=8; n=2 → 0.990266

コードのポイント

このプログラムでは、まず入力された角度を x * (PI / 180.0) によって度からラジアンに変換しています。これは、C言語の数学関数や級数計算ではラジアンが標準的な単位であるためです。

ループ内では、変数 s が各項の符号（正負）を管理し、fact が階乗の値を累積的に計算し、pow が x の偶数次冪を順次更新します。これにより、前の項の計算結果を再利用できるため、効率的な実装になっています。