最初のn個の自然数の平方和の総和を求める2つの方法

平方和の総和とは

最初のn個の自然数の平方和の総和とは、1からnまでの各自然数について「その数までの平方の和」を求め、それらをさらに合計した値のことです。具体的には、各項の平方和を順番に計算し、その結果を合計用の変数に加算していきます。

計算例（n = 4 の場合）

最初の4つの自然数の平方和の総和は、次のように求められます。

sum = (1²) + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + (1² + 2² + 3² + 4²)
= 1 + 5 + 14 + 30 = 50

この総和を求める方法には、大きく分けて以下の2つがあります。

方法1：forループを使う方法

この方法では、1からnまでの各数値を順にループ処理し、各段階での平方和を「i × (i + 1) × (2i + 1) / 6」という公式で求めて、合計変数に加算していきます。コードがシンプルで理解しやすい反面、n回の反復処理が必要なため、nが大きくなると計算に時間がかかるというデメリットがあります（計算量：O(n)）。

サンプルコード

#include <stdio.h>
int main() {
    int n = 6;
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        sum += ((i * (i + 1) * (2 * i + 1)) / 6);
    printf("The square-sum of first %d natural number is %d", n, sum);
    return 0;
}

実行結果

The square-sum of first 6 natural number is 196

方法2：数学的公式を使う方法

級数の一般項とその性質を解析することで、総和を直接求める数学的公式を導き出せます。最初のn個の自然数の平方和の総和を求める公式は、次のとおりです。

sum = n × (n + 1) × (n + 1) × (n + 2) / 12

この公式を使えば、ループ処理を行わずに1回の計算で答えが得られるため、nがどれほど大きくても高速に処理できます（計算量：O(1)）。

サンプルコード

#include <stdio.h>
int main() {
    int n = 6;
    int sum = (n * (n + 1) * (n + 1) * (n + 2)) / 12;
    printf("The square-sum of first %d natural number is %d", n, sum);
    return 0;
}

実行結果

The square-sum of first 6 natural number is 196

まとめ

どちらの方法も同じ結果が得られますが、コードの分かりやすさを重視するならforループ方式、実行速度を重視するなら数学的公式方式が適しています。用途に応じて使い分けるとよいでしょう。