正方行列を対称行列と交代対称行列の和に分解する方法

対称行列とは

対称行列 ― 転置行列が元の行列そのものと等しい行列は、「対称行列」と呼ばれます。つまり、A = A^T が成り立つ行列です。

交代対称行列（スキュー対称行列）とは

交代対称行列 ― 転置行列が元の行列の符号を反転したもの（-1倍）と等しい行列は、「交代対称行列（スキュー対称行列）」と呼ばれます。つまり、A^T = -A が成り立つ行列です。

任意の正方行列は、必ずある対称行列と交代対称行列の和として表すことができます。この2つの行列を求めるには、以下の公式を使用します。

分解の公式

A を正方行列とすると、次のように表せます。

A = (½) × (A + A^T) + (½) × (A - A^T)

ここで、A^T は行列 A の転置行列です。

• (½)(A + A^T) は対称行列になります。
• (½)(A - A^T) は交代対称行列になります。

C++による実装例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 3
void printMatrix(float mat[N][N]) {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++)
            cout << mat[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
}
int main() {
    float mat[N][N] = { { 2, -2, -4 },
    { -1, 3, 4 },
    { 1, -2, -3 } };
    float tr[N][N];
    for (int i = 0; i < N; i++)
        for (int j = 0; j < N; j++)
            tr[i][j] = mat[j][i];
    float symm[N][N], skewsymm[N][N];
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            symm[i][j] = (mat[i][j] + tr[i][j]) / 2;
            skewsymm[i][j] = (mat[i][j] - tr[i][j]) / 2;
        }
    }
    cout << "Symmetric matrix-" << endl;
    printMatrix(symm);
    cout << "Skew Symmetric matrix-" << endl;
    printMatrix(skewsymm);
    return 0;
}

出力結果

Symmetric matrix -
2 -1.5 -1.5
-1.5 3 1
-1.5 1 -3
Skew Symmetric matrix -
0 -0.5 -2.5
0.5 0 3
2.5 -3 0

結果の検証

出力された対称行列と交代対称行列の対応する要素同士を足し合わせると、元の行列 {2, -2, -4}、{-1, 3, 4}、{1, -2, -3} に戻ることが確認できます。

また、交代対称行列の対角成分がすべて 0 になっている点にも注目してください。これは交代対称行列の重要な性質であり、A^T = -A より対角成分は必ず 0 になります。さらに、対称行列側は転置しても元のまま変わらないことも確認できます。