最初のn個の奇数の2乗の総和を求める方法|公式とC言語の実装例

奇数の2乗の数列とは

最初のn個の奇数の2乗からなる数列とは、1から始まる奇数を順番に2乗して並べたものです。

この数列は次のように表されます。

1, 9, 25, 49, 81, 121…

また、各項が奇数の2乗であることを明示すると、次のようにも書けます。

1², 3², 5², 7², 9², 11²…

総和を求める数学的公式

この数列の総和は、次の公式を使うことで簡単に求められます。

sum = n(2n+1)(2n−1)/3 = n(4n²−1)/3

計算例

入力:N = 4
出力:sum = 84

解説

まず、各項を実際に足し合わせて確認してみます。

1² + 3² + 5² + 7² = 1 + 9 + 25 + 49 = 84

次に、公式に当てはめて計算します。

sum = 4×(4×4²−1)/3 = 4×(64−1)/3 = 4×63/3 = 4×21 = 84

どちらの方法でも同じ結果が得られますが、繰り返し処理(ループ)を必要としない公式による方法の方が、時間計算量を大幅に抑えられるため、より効率的です。

実装例1:ループを使った方法(C言語)

#include <stdio.h>
int main() {
    int n = 8;
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        sum += (2*i - 1) * (2*i - 1);
    printf("The sum of square of first %d odd numbers is %d", n, sum);
    return 0;
}

出力

The sum of square of first 8 odd numbers is 680

この方法では、i番目の奇数が「2i−1」で表されることを利用し、for文でn回繰り返しながら2乗を加算していきます。時間計算量はO(n)です。

実装例2:公式を使った方法(C言語)

#include <stdio.h>
int main() {
    int n = 18;
    int sum = ((n*((4*n*n)-1))/3);
    printf("The sum of square of first %d odd numbers is %d", n, sum);
    return 0;
}

出力

The sum of square of first 18 odd numbers is 7770

公式を直接コードに組み込むことで、ループなしで一度の計算だけで答えが求まります。時間計算量はO(1)であり、nが大きくなっても計算時間は一定です。

まとめ

最初のn個の奇数の2乗の総和は、公式「n(4n²−1)/3」を使えばO(1)で求められます。ループを使う方法は直感的で理解しやすい一方、公式を使う方法は計算効率が非常に高いため、実務や競技プログラミングでは公式の活用が推奨されます。