1/1! + 2/2! + 3/3! + … + n/n! の級数の合計を求めるC++プログラム

このチュートリアルでは、級数「1/1! + 2/2! + 3/3! + 4/4! + … + n/n!」の合計を求めるC++プログラムについて解説します。

nの値が与えられ、最初の項から順番にすべての項を足し合わせて、級数全体の合計を求めることが目標です。

考え方

各項は「i / i!」という形をしています。そこで、階乗の値を保持する変数を用意し、ループのたびに新しい値を掛けて更新しながら、その項を合計に加算していきます。階乗を毎回ゼロから計算し直す必要がないため、時間計算量はO(n)と非常に効率的です。

例

#include <iostream>
using namespace std;

// 級数の合計を計算する関数
double calc_sum(int n) {
    double sum = 0, fact = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fact = fact * i; // iの階乗を求める
        sum += i / fact; // 項 i/i! を合計に加算
    }
    return sum;
}

int main() {
    int n = 6;
    double res = calc_sum(n);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

出力

2.71667

コードの解説

変数factは現在の階乗の値を保持します。ループの各反復では、まずfactにiを掛けて「i!」を求め、続いて「i / i!」をsumに加算します。

n = 6の場合、各項の値は以下の通りです。

• 1/1! = 1
• 2/2! = 1
• 3/3! = 0.5
• 4/4! ≈ 0.16667
• 5/5! ≈ 0.04167
• 6/6! ≈ 0.00833

これらをすべて足し合わせると、合計は約2.71667になります。

ちなみに、この級数はnを大きくしていくと自然対数の底e（約2.71828）に収束することでも知られています。