1/1! + 2/2! + 3/3! + …… + n/n! の級数の合計を求めるPythonプログラム

この記事では、与えられた問題を解くための解法とアプローチについて詳しく解説します。

問題文

整数 n が入力として与えられたとき、次の級数の合計を求めます。

1/1! + 2/2! + 3/3! + 4/4! + …… + n/n!

ここでは for ループを使用して実装するため、時間計算量は O(n) となります。また、処理効率を高めるポイントとして、階乗の計算を同じループ内で同時に行っている点が挙げられます。

アルゴリズム

以下の手順で級数の合計を求めます。

1. 合計値 res を 0、階乗値 fact を 1 で初期化します。
2. i を 1 から n まで順に処理し、fact *= i によって i の階乗を更新します。
3. res に i / fact を加算していきます。
4. ループ終了後、res を返り値として返します。

実装例

def sumOfSeries(num):
    res = 0
    fact = 1
    for i in range(1, num+1):
        fact *= i
        res = res + (i / fact)
    return res

n = 100
print("Sum: ", sumOfSeries(n))

出力

Sum: 2.7182818284590455

下図に示すように、すべての変数と関数はグローバルスコープで宣言されています。

数学的な補足

この級数の合計は、n を大きくするにつれて自然対数の底 e(約 2.71828)へ収束することが知られています。実際、上記の出力 2.7182818284590455 は n = 100 の場合の結果であり、e の値とほぼ一致しています。これは級数の各項 i/i! がテイラー展開における e の定義に関係しているためで、非常に興味深い性質です。

まとめ

この記事では、for ループを1回だけ使用して、級数 1/1! + 2/2! + 3/3! + …… + n/n! の合計を効率的に求める方法を学びました。階乗の計算を同一ループ内で行うことで無駄な再計算を避け、時間計算量 O(n) を実現できる点が本手法の大きな利点です。