C++で「2/n = 1/x + 1/y + 1/z」を満たすx、y、zを見つける方法

この問題では、整数値 n が与えられ、「2/n = 1/x + 1/y + 1/z」を満たす x、y、z を見つけることが課題となります。

例で問題を理解しよう

入力 : n = 4
出力 : 4, 5, 20

解法アプローチ

この問題に対するシンプルな解決策は、n の値をもとに解を直接導き出すことです。

• n = 1 の場合：方程式の解は存在しません。
• n > 1 の場合：解は x = n、y = n+1、z = n(n+1) となります。

この解が正しいことは、次の等式から確認できます。

2/n = 1/n + 1/(n+1) + 1/(n×(n+1))

右辺を通分して計算すると、次のようになります。

1/n + 1/(n+1) + 1/(n(n+1)) = (n+1)/(n(n+1)) + n/(n(n+1)) + 1/(n(n+1)) = (2n+2)/(n(n+1)) = 2(n+1)/(n(n+1)) = 2/n

確かに左辺の 2/n と一致しており、この公式が常に成り立つことがわかります。

実装例

以下は、この解法の動作を示すC++プログラムです。

#include <iostream>
using namespace std;

void findSolution(int n){
   if (n == 1) {
      cout << "No solution";
      return;
   }
   cout << n << ", " << (n + 1) << ", " << (n * (n + 1));
}

int main(){
   int n = 4;
   cout << "n = " << n << " のとき、方程式 '2/n = 1/x + 1/y + 1/z' の解は ";
   findSolution(n);
   return 0;
}

出力

n = 4 のとき、方程式 '2/n = 1/x + 1/y + 1/z' の解は 4, 5, 20

コードの解説

このプログラムでは、まず n の値をチェックします。n が 1 の場合は解が存在しないため「No solution」と表示し、処理を終了します。それ以外の場合は、導出した公式に従って x = n、y = n+1、z = n(n+1) を計算して出力します。

例えば n = 4 の場合、x = 4、y = 5、z = 4×5 = 20 となります。実際に検証してみると、1/4 + 1/5 + 1/20 = 5/20 + 4/20 + 1/20 = 10/20 = 2/4 となり、確かに 2/n が成り立っていることが確認できます。

この解法の計算量は O(1) であり、n の値に関わらず一定時間で答えを求められる点が大きなメリットです。