数列 5, 13, 25, 41, 61, … の第N項を求めるC++プログラム

問題の概要

この問題では、整数 N が与えられます。私たちのタスクは、数列「5, 13, 25, 41, 61, …」の第 N 項を求めるプログラムを作成することです。

問題を理解するための例

入力

N = 5

出力

61

説明

数列は 5, 13, 25, 41, 61 … と続いていきます。5 番目の項は 61 です。

解法アプローチ

この問題を解くシンプルな方法は、数列の第 N 項を表す一般式を利用することです。

数列を観察すると、隣接する項の差が 8, 12, 16, 20 と 4 ずつ増加しています。これは二次数列の典型的な特徴であり、第 N 項は次の一般式で表されます。

N番目の項 = (N × N) + ((N + 1) × (N + 1))

つまり、「N の 2 乗」と「(N + 1) の 2 乗」を足し合わせた値が、そのまま第 N 項になります。実際に検証してみましょう。

• N = 1 のとき：1² + 2² = 1 + 4 = 5
• N = 2 のとき：2² + 3² = 4 + 9 = 13
• N = 3 のとき：3² + 4² = 9 + 16 = 25

このように、一般式が数列を正しく表していることが確認できます。この式を使えば、ループで項を順に計算する必要がなく、O(1) の定数時間で第 N 項を求められます。

解法の動作を示すプログラム

例

#include <iostream>
using namespace std;
int calcNthTerm(int N) {
    return ( ( (N + 1)*( N + 1) ) + (N*N) ) ;
}
int main() {
    int N = 7;
    cout<<N<<"番目の項は "<<calcNthTerm(N);
    return 0;
}

出力

7番目の項は 113