第n項がn² − (n−1)²で表される級数の総和を求めるPythonプログラム

本記事では、第n項が n² − (n−1)² で表される級数の総和を、Pythonを使って効率的に求める方法について解説します。

問題文

整数 n が与えられたとき、次の一般項で表される級数の最初の n 項の総和を求めます。

Tn = n² − (n−1)²

アプローチのポイント

各項を順番に計算して足し合わせることも可能ですが、この級数には「望遠鏡和（テレスコーピング）」と呼ばれる便利な性質があります。一般項を展開してみましょう。

Tn = n² − (n−1)² = n² − (n² − 2n + 1) = 2n − 1

つまり各項は連続する奇数であり、その総和は次のように簡潔に表せます。

S = 1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n²

したがって、この級数の総和は単純に n² になります。ただし、n が非常に大きい場合、直接2乗を計算すると処理に時間がかかったり、桁あふれのリスクが生じたりします。そこで本プログラムでは、剰余演算（modular multiplication）を活用して計算量を抑えています。

実装例

# 与えられた級数の総和を求めるPythonプログラム
mod = 1000000007

def findSum(n):
    return ((n % mod) * (n % mod)) % mod

# main()
n = 229137999
print(findSum(n))

出力

218194447

コードの解説

すべての変数はグローバルフレーム上で宣言されています。処理の流れは以下の通りです。

• mod = 1000000007: 大きな素数を法として設定し、結果の桁数を制御します。
• findSum(n): まず n % mod で n を小さくしてから2乗し、最後にもう一度 % mod を適用します。

このように段階的に剰余を取ることで、巨大な整数でもオーバーフローを気にせず高速に計算できます。

まとめ

本記事では、第n項が n² − (n−1)² である級数の総和を求める手法を学びました。テレスコーピングの性質により総和が n² に等しいことを利用し、さらに剰余演算を組み合わせることで、大きな n に対しても効率的に答えを得られることを確認しました。