C++で数列 3, 5, 21, 51, 95, … のN番目の項を求めるプログラム

この記事では、数値Nが与えられたときに、C++を使って数列 3, 5, 21, 51, 95, … のN番目の項を求めるプログラムの作成方法を解説します。

問題の説明

次の数列のN番目の項を求めるのが課題です。

3, 5, 21, 51, 95, 153, …(N項まで)

この数列は各項の増加パターンから、二次方程式(二次関数)に従うことがわかります。したがって、まず数列の一般項の公式を導き出す必要があります。

入出力例

入力: N = 6
出力: 153

解決アプローチ

この問題を解くには、数列の一般項(第n項)の公式を求めます。この数列の一般項は、以下の二次式で表されます。

T_n = 7 × n² − 19 × n + 15

公式の検証

実際にいくつかの項に代入して確認してみましょう。

• n = 1 のとき: 7×1 − 19×1 + 15 = 3 ✓
• n = 2 のとき: 7×4 − 19×2 + 15 = 5 ✓
• n = 3 のとき: 7×9 − 19×3 + 15 = 21 ✓
• n = 6 のとき: 7×36 − 19×6 + 15 = 153 ✓

すべての項で一致していることから、この公式が正しいことが確認できます。

C++での実装例

#include <iostream>
using namespace std;
int findNTerm(int N) {
    int nthTerm = ( (7*(N*N)) - (19*N) + 15 );
    return nthTerm;
}
int main() {
    int N = 7;
    cout<<N<<"th term of the series is "<<findNTerm(N);
    return 0;
}

出力結果

7th term of the series is 225

コードの解説

関数 findNTerm() では、引数として受け取った N を一般項の公式 T_n = 7n² − 19n + 15 に代入し、計算結果を返します。main() 関数では N = 7 を設定し、その結果を出力しています。

このアプローチの大きな利点は、ループを使って各項を順番に計算する必要がない点です。公式に直接代入するだけでよいため、任意の N に対して O(1) の計算量でN番目の項を求めることができ、非常に効率的です。