C++で数列「3, 6, 18, 24, …」のN番目の項を求めるプログラム

この記事では、与えられた数値Nに対して、数列「3, 6, 18, 24, …」のN番目の項をC++で求めるプログラムを紹介します。

問題の説明

対象となる数列は以下のとおりです。

3, 6, 18, 24, 45, 54, 84 …（N項まで）

この数列の一般項（第N項を求める式）を見つけ出し、任意のNに対してその値を計算するのが課題です。

入力・出力例

入力： N = 10

出力： 150

解法のアプローチ

数列の一般項を求めるには、まず数列を注意深く観察し、規則性を探します。すべての項に3が共通していることに気づきますが、それだけでは一般化にはつながりません。

そこで、各項をその項番号n（1, 2, 3, …）で整理してみると、残りの部分に明確なパターンが現れます。具体的には、次のような構造になっています。

• nが偶数の場合：T_n = n × (n/2 + n)
• nが奇数の場合：T_n = n × (n/2 の切り捨て + 2 + n)

これらをまとめると、剰余演算（%）を使って次の一般項の公式が得られます。

数列の一般項

Tn = n × ( (n / 2) + ( (n % 2) × 2 ) + n )

ここで、n / 2 は整数除算、n % 2 はnを2で割った余りです。nが偶数なら余りは0、奇数なら1となり、奇数のときだけ2が加算される仕組みです。

検算してみましょう。

• n = 1：1 × (0 + 2 + 1) = 3
• n = 2：2 × (1 + 0 + 2) = 6
• n = 3：3 × (1 + 2 + 3) = 18
• n = 4：4 × (2 + 0 + 4) = 24
• n = 7：7 × (3 + 2 + 7) = 84
• n = 10：10 × (5 + 0 + 10) = 150

いずれも数列の値と一致しており、公式が正しいことが確認できます。

C++による実装例

#include <iostream>
using namespace std;

int findNTerm(int N) {
    int nthTerm = ( N * ((N / 2) + ((N % 2) * 2) + N) );
    return nthTerm;
}

int main() {
    int N = 7;
    cout << N << "番目の項の値は " << findNTerm(N);
    return 0;
}

実行結果

7番目の項の値は 84

まとめ

このプログラムでは、数列の各項を項番号nとの関係から分析し、整数除算と剰余演算を組み合わせた単一の一般項公式を導き出しました。このアプローチにより、ループで順に項を生成することなく、O(1)の計算量で直接N番目の項を求めることができます。数列の問題では、まず項番号との対応関係を書き出してみることが、規則性発見の有効な第一歩になります。