Pythonで点座標のfloat配列を使用してチェビシェフ多項式の疑似ファンデルモンド行列を生成する方法

チェビシェフ多項式の疑似ファンデルモンド行列を生成するには、PythonのNumPyが提供する numpy.polynomial.chebyshev モジュールの chebvander2d() 関数を使用します。この関数は、指定した最大次数 deg とサンプル点 (x, y) に対応する疑似ファンデルモンド行列を返します。

パラメータ x と y は点座標の配列で、両方とも同一の形状を持つ必要があります。データ型(dtype)は、要素に複素数が含まれるかどうかに応じて、float64 または complex128 のいずれかに自動的に変換されます。スカラー値を渡した場合は1次元配列へと変換されます。また、パラメータ deg は [x_deg, y_deg] の形式で、x方向とy方向それぞれの最大次数を指定するリストです。

実装の手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

続いて、numpy.array() メソッドを使用して、同じ形状を持つ点座標の配列を作成します。

x = np.array([0.1, 1.4])
y = np.array([1.7, 2.8])

作成した配列を表示します。

print("Array1...\n",x)
print("\nArray2...\n",y)

配列のデータ型を確認します。

print("\nArray1 datatype...\n",x.dtype)
print("\nArray2 datatype...\n",y.dtype)

両方の配列の次元数をチェックします。

print("\nDimensions of Array1...\n",x.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",y.ndim)

両方の配列の形状をチェックします。

print("\nShape of Array1...\n",x.shape)
print("\nShape of Array2...\n",y.shape)

チェビシェフ多項式の疑似ファンデルモンド行列を生成するには、chebyshev.chebvander2d() を使用します。ここでは、x方向の最大次数を2、y方向の最大次数を3として指定しています。

x_deg, y_deg = 2, 3
print("\nResult...\n",C.chebvander2d(x,y, [x_deg, y_deg]))

完全なコード例

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

# numpy.array() メソッドで同じ形状の点座標配列を作成
x = np.array([0.1, 1.4])
y = np.array([1.7, 2.8])

# 配列を表示
print("Array1...\n",x)
print("\nArray2...\n",y)

# データ型を表示
print("\nArray1 datatype...\n",x.dtype)
print("\nArray2 datatype...\n",y.dtype)

# 配列の次元数を確認
print("\nDimensions of Array1...\n",x.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",y.ndim)

# 配列の形状を確認
print("\nShape of Array1...\n",x.shape)
print("\nShape of Array2...\n",y.shape)

# chebyshev.chebvander2d() でチェビシェフ多項式の疑似ファンデルモンド行列を生成
x_deg, y_deg = 2, 3
print("\nResult...\n",C.chebvander2d(x,y, [x_deg, y_deg]))

出力結果

Array1...
[0.1 1.4]

Array2...
[1.7 2.8]

Array1 datatype...
float64

Array2 datatype...
float64

Dimensions of Array1...
1

Dimensions of Array2...
1

Shape of Array1...
(2,)

Shape of Array2...
(2,)

Result...
[[ 1.0000000e+00 1.7000000e+00 4.7800000e+00 1.4552000e+01
1.0000000e-01 1.7000000e-01 4.7800000e-01 1.4552000e+00
-9.8000000e-01 -1.6660000e+00 -4.6844000e+00 -1.4260960e+01]
[ 1.0000000e+00 2.8000000e+00 1.4680000e+01 7.9408000e+01
1.4000000e+00 3.9200000e+00 2.0552000e+01 1.1117120e+02
2.9200000e+00 8.1760000e+00 4.2865600e+01 2.3187136e+02]]

結果の解説

出力された行列は 2行×12列 の構造になっています。行数はサンプル点の数(ここでは2点)、列数は (x_deg + 1) × (y_deg + 1) = 3 × 4 = 12 であり、これは T_i(x) × T_j(y)(i = 0〜2、j = 0〜3)の全組み合わせに対応します。各行は、対応するサンプル点におけるチェビシェフ多項式基底関数の評価値を表しており、この行列は最小二乗法などによる2変数チェビシェフ多項式フィッティングの基礎となります。