Python NumPyで複素数の根を持つチェビシェフ級数を生成する方法

PythonのNumPyライブラリでは、指定した根を持つチェビシェフ級数を生成するために、chebyshev.chebfromroots()メソッドを使用します。このメソッドは、級数の係数を格納した1次元配列を返します。すべての根が実数であれば結果も実数配列になりますが、根の一部が複素数の場合は、計算結果の係数がすべて実数であっても、出力は複素数型（complex）になります。引数rootsには、根を要素とするシーケンスを渡します。

なお、チェビシェフ級数とは、チェビシェフ多項式 T_n(x) を基底とした多項式の表現形式です。chebfromroots() を使えば、因数分解された形の情報（根）から直接チェビシェフ基底の係数を求めることができます。

実行手順

1. ライブラリのインポート

まず、必要なライブラリをインポートします。

from numpy.polynomial import chebyshev as C

2. 複素数の根を定義

complex() 関数を使って虚数単位 j を作成し、根として準備します。

j = complex(0, 1)

3. チェビシェフ級数を生成

-j と j を根として渡し、級数を生成して表示します。

print("Result...\n", C.chebfromroots((-j, j)))

4. データ型の確認

print("\nType...\n", C.chebfromroots((-j, j)).dtype)

5. 形状（shape）の確認

print("\nShape...\n", C.chebfromroots((-j, j)).shape)

完全なコード例

from numpy.polynomial import chebyshev as C

# 指定した根を持つチェビシェフ級数を生成するには、
# chebyshev.chebfromroots() メソッドを使用します。
# 戻り値は係数の1次元配列です。根に複素数が含まれる場合は、
# 結果の係数がすべて実数でも出力は複素数型になります。

# 複素数の根を定義
j = complex(0, 1)

# 級数を生成して表示
print("Result...\n", C.chebfromroots((-j, j)))

# データ型を確認
print("\nType...\n", C.chebfromroots((-j, j)).dtype)

# 形状を確認
print("\nShape...\n", C.chebfromroots((-j, j)).shape)

出力結果

Result...
    [1.5+0.j 0. +0.j 0.5+0.j]

Type...
complex128

Shape...
(3,)

結果の解説

この例では、根として i（虚数単位）と -i を指定しています。これらを根に持つ通常の多項式は x² + 1 です。これをチェビシェフ基底で表現すると、T₀(x) = 1、T₂(x) = 2x² − 1 という関係から、

x² + 1 = 1.5・T₀(x) + 0.5・T₂(x)

となり、出力された係数配列 [1.5+0.j, 0.+0.j, 0.5+0.j] と一致します。また、根に複素数が含まれているため、係数の値自体は実数ですが、データ型は complex128 になっている点にも注目してください。