Python NumPyで複素数係数のHermiteE級数の根を計算する方法

PythonのNumPyライブラリでは、numpy.polynomial.hermite_eモジュールに含まれるhermeroots()メソッドを使うことで、HermiteE級数（確率論的エルミート多項式の級数）の根を簡単に求めることができます。

このメソッドは、級数の根を格納した配列を返します。すべての根が実数であれば結果も実数配列になり、そうでなければ複素数配列として返されます。

hermeroots()メソッドの特徴と注意点

引数 c には、級数の係数を要素とする1次元配列を指定します。根の推定値はコンパニオン行列（companion matrix）の固有値として計算されますが、以下のような注意点があります。

• 複素平面上で原点から大きく離れた根は、そのような値に対する級数の数値的不安定性のため、誤差が大きくなる可能性があります。
• 重解（重複度が1より大きい根）も、その点付近での級数の値が根の誤差に比較的鈍感なため、誤差が大きくなりやすい傾向があります。
• 原点付近の孤立した根については、ニュートン法を数回反復適用することで精度を改善できます。

計算手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

from numpy.polynomial import hermite_e as H

HermiteE級数の根を計算します。ここでは、虚数単位 j を使った複素数係数の例を扱います。

j = complex(0,1)
print("Result...\n", H.hermeroots((-j, j)))

結果のデータ型（dtype）を確認します。

print("\nType...\n", H.hermeroots((-j, j)).dtype)

結果の形状（shape）を確認します。

print("\nShape...\n", H.hermeroots((-j, j)).shape)

サンプルコード

from numpy.polynomial import hermite_e as H

# hermeroots()メソッドを使ってHermiteE級数の根を計算する
# 戻り値は根の配列。すべての根が実数なら実数配列、
# そうでなければ複素数配列が返される

# 引数cは係数の1次元配列
j = complex(0,1)
print("Result...\n", H.hermeroots((-j, j)))

# データ型を取得
print("\nType...\n", H.hermeroots((-j, j)).dtype)

# 形状を取得
print("\nShape...\n", H.hermeroots((-j, j)).shape)

実行結果

Result...
    [1.+0.j]

Type...
complex128

Shape...
(1,)

このように、複素数係数 (-j, j) を持つHermiteE級数の根は「1+0j」として求まり、結果は complex128 型、形状 (1,) の配列になっていることがわかります。