Pythonで複素数の根からルジャンドル級数を生成する方法

Pythonでルジャンドル級数（Legendre series）を生成するには、numpy.polynomial.legendreモジュールのlegfromroots()メソッドを使用します。このメソッドは、指定した根（roots）を持つ多項式をルジャンドル基底の級数に変換し、その係数を1次元配列として返します。

注意すべき点として、すべての根が実数であれば結果は実数配列になりますが、根の一部が複素数の場合は、たとえ計算結果の係数がすべて実数であっても、出力は複素数型（complex）になります。引数rootsには、根を要素とするシーケンス（リストやタプルなど）を渡します。

実行手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

from numpy.polynomial import legendre as L

次に、legfromroots()メソッドを使って、虚数単位 j と -j を根とするルジャンドル級数を生成します。

j = complex(0,1)
print("Result...\n",L.legfromroots((-j, j)))

続いて、結果のデータ型を確認します。

print("\nType...\n",L.legfromroots((-j, j)).dtype)

最後に、結果の形状（shape）を確認します。

print("\nShape...\n",L.legfromroots((-j, j)).shape)

サンプルコード全体

from numpy.polynomial import legendre as L

# ルジャンドル級数を生成するには polynomial.legendre.legfromroots() メソッドを使用
j = complex(0,1)
print("Result...\n",L.legfromroots((-j, j)))

# データ型を取得
print("\nType...\n",L.legfromroots((-j, j)).dtype)

# 形状を取得
print("\nShape...\n",L.legfromroots((-j, j)).shape)

実行結果

Result...
    [1.33333333+0.j 0. +0.j 0.66666667+0.j]

Type...
complex128

Shape...
(3,)

結果の解説

根が ±j の場合、対応する多項式は x² + 1 です。これをルジャンドル多項式の基底で表現すると、P₂(x) = (3x² − 1)/2 の関係から x² = (2/3)P₂(x) + (1/3)P₀(x) となるため、x² + 1 = (4/3)P₀(x) + (2/3)P₂(x) となります。

実際の出力 [1.33333333, 0., 0.66666667] は、それぞれ P₀、P₁、P₂ の係数に対応しており、理論値（4/3 ≒ 1.33333333、2/3 ≒ 0.66666667）と一致しています。

また、根に複素数が含まれているため、係数の値自体は実数ですが、データ型は complex128 になっている点にも注目してください。配列の形状は係数3個分の (3,) です。