Python NumPyのlaguerre.lagroots()で複素数係数のラゲール級数の根を計算する方法

Python NumPyでラゲール級数（Laguerre series）の根を計算するには、numpy.polynomial.laguerreモジュールのlagroots()メソッドを使用します。このメソッドは、級数の根を配列として返します。すべての根が実数である場合、結果も実数の配列になり、そうでない場合は複素数の配列になります。

lagroots()メソッドの仕組みと注意点

根の推定値は、コンパニオン行列（companion matrix）の固有値として求められます。そのため、以下のような特性に注意が必要です。

• 原点から遠い根： 複素平面上で原点から大きく離れた根は、そのような値における級数の数値的不安定性のため、大きな誤差が生じる可能性があります。
• 重複度が2以上の根： 重複した根も、その点付近での級数の値が根の誤差に比較的鈍感であるため、誤差が大きくなりやすくなります。
• 精度の改善： 原点付近の孤立した根については、ニュートン法（Newton's method）を数回反復することで精度を改善できます。

引数 c は、級数の係数を格納した1次元配列です。

計算の手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

from numpy.polynomial import laguerre as L

次に、laguerre.lagroots()メソッドを使って、虚数単位を含む複素数係数のラゲール級数の根を計算します。

j = complex(0, 1)
print("Result...\n", L.lagroots([-j, j]))

結果のデータ型を確認します。

print("\nType...\n", L.lagroots([-j, j]).dtype)

結果の形状（shape）を確認します。

print("\nShape...\n", L.lagroots([-j, j]).shape)

完全なコード例

from numpy.polynomial import laguerre as L

# ラゲール級数の根を計算するには、laguerre.lagroots()メソッドを使用します。
# このメソッドは級数の根の配列を返します。
# すべての根が実数なら結果も実数、それ以外の場合は複素数になります。

j = complex(0, 1)
print("Result...\n", L.lagroots([-j, j]))

# データ型を取得
print("\nType...\n", L.lagroots([-j, j]).dtype)

# 形状を取得
print("\nShape...\n", L.lagroots([-j, j]).shape)

出力結果

Result...
    [0.+0.j]

Type...
complex128

Shape...
(1,)

この例では、係数 [-j, j] を持つラゲール級数の根として [0.+0.j] が得られました。結果は複素数型（complex128）の要素を1つ持つ配列になっています。これは、入力に複素数の係数が含まれているためです。