半径が与えられたn辺の正多角形の面積を求める方法

本記事では、半径が与えられたn辺の正多角形の面積を求める方法を解説します。ここでいう「半径」とは、多角形の中心から任意の頂点までの距離のことです。

考え方:多角形を三角形に分割する

この問題を解くために、中心から一辺へ垂線を引きます。一辺の長さを「a」とすると、垂線はこの辺を2等分し、それぞれの長さはa/2になります。また、垂線と半径がなす角をx、半径の長さをrとします。

図からわかるように、正多角形はN個の同一の三角形に分割できます。つまり、N辺の多角形は必ずN個の三角形に分けられるのです。中心における全角度は360°なので、これをN等分すると、各三角形の中心角は360°/Nとなります(例:N=6の場合、360°/6=60°)。したがって、角xはその半分である180°/Nです。

面積の計算式

三角関数を用いると、一辺の長さaと三角形の高さhは次のように求められます。

• a = 2 × r × sin(180°/N)
• h = r × cos(180°/N)

したがって、1つの三角形の面積Aは次のとおりです。

A = (1/2) × a × h = (r² / 2) × sin(360°/N)

多角形全体の面積は、これにNを掛けた「N × A」となります。

サンプルコード(C++)

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
float polygonArea(float r, int n){
    return ((r * r * n) * sin((360 / n) * 3.1415 / 180)) / 2; // 角度をラジアンに変換してから計算
}
int main() {
    float rad = 9.0f;
    int sides = 6;
    cout << "Polygon Area: " << polygonArea(rad, sides);
}

実行結果

Polygon Area: 210.44

この例では、半径9.0、辺数6(正六角形)の場合の面積が約210.44と計算されています。この公式を使えば、任意の辺数・半径の正多角形の面積を簡単に求められます。