【C++】数列 9, 23, 45, 75, 113… のN番目の項を求めるプログラム

この問題では、整数 n が与えられ、それが数列の何番目の項であるかを表します。私たちの課題は、C++ を使って数列「9, 23, 45, 75, 113…」の N 番目の項を求めるプログラムを作成することです。

問題の概要

ここで求めるべきは、与えられた数列の一般項を導き出し、その式から第 n 項の値を計算することです。

対象となる数列は次のとおりです。

9, 23, 45, 75, 113, 159, 213, …

入出力例

• 入力： n = 5
• 出力： 159

解法アプローチ

まず、隣り合う項同士の差に注目してみましょう。

• 23 − 9 = 14
• 45 − 23 = 22
• 75 − 45 = 30
• 113 − 75 = 38

一次の差は一定ではありませんが、さらにその差同士の間隔（14, 22, 30, 38 …）を見ると、常に +8 ずつ増えていることがわかります。これは、この数列が N の2乗を含む二次式で表せることを示しています。

実際、この数列の一般項は次の式で表されます。

N番目の項 = (2×N + 3)² − 2×N

この式を展開すると 4N² + 10N + 9 となり、N = 0 のとき 9、N = 1 のとき 23、N = 2 のとき 45 と、数列の各項と完全に一致します。

C++による実装例

#include <iostream>
using namespace std;

int calcNTerm(int N) {
    int nthTerm = ( (2*N + 3)*(2*N + 3) - (2*N) );
    return nthTerm;
}

int main() {
    int n = 6;
    cout<<"Nth term of the series is "<<calcNTerm(n);
    return 0;
}

出力結果

Nth term of the series is 213

n = 6 を関数に渡した場合、(2×6 + 3)² − 2×6 = 15² − 12 = 213 となり、正しく 213 が出力されていることが確認できます。

まとめ

本記事では、数列「9, 23, 45, 75, 113…」の一般項 (2N + 3)² − 2N を導き、C++ で N 番目の項を O(1) の計算量で求めるプログラムを実装しました。数列の問題では、まず項の差を調べて規則性（等差・等比・二次関係など）を見つけ出すことが、一般項を導くための重要な第一歩となります。