C++で調和級数の総和を求めるプログラムの書き方

この記事では、3つの値 a（初項）、d（公差）、n（項数）が与えられたときに、C++を使って調和級数の総和を求めるプログラムの作成方法を解説します。

調和級数とは？

調和数列（Harmonic Progression：HP）とは、各項の逆数をとると等差数列になる数列のことです。つまり、調和数列 A1, A2, A3…An の各項の逆数 1/A1, 1/A2, 1/A3 が等差数列を構成します。

したがって、一般的な調和数列は次のように表せます。

1/a, 1/(a+d), 1/(a+2d), … 1/(a + nd)

ここで、1/a が初項、d は対応する等差数列の公差です。

問題の概要

本記事の問題では、初項 a、公差 d、項数 n が与えられます。これらの情報をもとに、調和数列全体の総和を計算します。

具体的な入出力例を見てみましょう。

入力例

a = 3, d = 2, n = 5

出力例

0.878211

説明

この場合の調和数列は 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, 1/11 となります。

Sum = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 = 0.878211

解決アプローチ

基本的な考え方はシンプルです。第 n 項まで順番にループ処理を行い、調和数列の各項の値を求めて変数 sumVal に加算していきます。最後に sumVal を返すことで総和が得られます。

アルゴリズム

初期化： sumVal = 0, term = 0;

• ステップ1： i を 1 から n までループさせる
  　ステップ1.1： 各項を計算する → term = 1/(a + (i-1)*d)
• ステップ1.2： 総和を更新する → sumVal += term
• ステップ2： sumVal を出力する

C++による実装例（反復処理）

実際のコードで動作を確認してみましょう。

#include <iostream>
using namespace std;
float findSeriesSum(int a, int d, int n){
    float sumVal = 0;
    float term = 0;
    for(float i = 1; i <= n; i++){
        term = (1.0)/(float)(a + (i-1)*d);
        sumVal += term;
    }
    return sumVal;
}
int main(){
    int n = 5, a = 3, d = 2;
    cout<<"The sum of HP is "<<findSeriesSum(a, d, n);
    return 0;
}

出力

The sum of HP is 0.878211

再帰関数を使った別のアプローチ

ループ処理の代わりに、再帰関数を利用して総和を求めることも可能です。末項から順に加算していく形で実装します。

#include <iostream>
using namespace std;
float findSeriesSum(int a, int d, int n){
    if(n == 1){
        return (float)(1.0)/a;
    }
    float term = (1.0)/ (float)(a + (n-1)*d);
    return term + findSeriesSum(a, d, n-1);
}
int main(){
    int n = 5, a = 3, d = 2;
    cout<<"The sum of HP is "<<findSeriesSum(a, d, n);
    return 0;
}

出力

The sum of HP is 0.878211

計算量について

どちらの方法でも、項数 n に対して時間計算量は O(n) で計算できます。ただし空間計算量については、反復版は補助変数のみで済むため O(1) である一方、再帰版は関数呼び出しスタックを使用するため O(n) のメモリが必要になる点に注意しましょう。大きな n を扱う場合は反復処理の方が効率的です。