第n項が n² −（n−1）² となる数列の総和を求めるJavaプログラム

第n項が n² −（n−1）² で表される数列の総和を求める方法を解説します。まず数学的な仕組みを確認し、その後で実際に動作するJavaプログラムと実行結果を見ていきましょう。

数学的な背景：総和がn²になる理由

第n項が n² −（n−1）² である数列について、初項から第n項までの総和 S は次のように表せます。

S = (1² − 0²) + (2² − 1²) + (3² − 2²) + … + (n² −（n−1）²)

各カッコ内のマイナスの項と、直後のカッコ内のプラスの項が順に打ち消し合うため、このような級数は「望遠鏡和（テレスコーピング級数）」と呼ばれます。すべての項が消去された結果、総和はシンプルに n² となります。

さらに、n² −（n−1）² を展開すると 2n − 1 になるため、この数列は実質的に「1, 3, 5, 7, …」という奇数列です。「最初のn個の奇数の和は n² に等しい」という有名な性質とも一致しており、数学的にも美しい構造を持っています。

Javaプログラムの例

以下は、与えられた n に対して総和（すなわち n²）を計算するJavaプログラムです。

public class Demo {
   static long my_val = 1000000007;
   public static long compute_val(long my_int){
      return ((my_int % my_val) * (my_int % my_val)) % my_val;
   }
   public static void main(String[] args){
      long my_int = 45687234;
      System.out.println("計算結果は ");
      System.out.print(compute_val(my_int));
   }
}

出力

計算結果は
335959495

プログラムの解説

Demo クラス内には、compute_val というメソッドが定義されています。このメソッドは、引数として渡された整数の二乗を計算して返します。前述のとおり、この数列の総和は n² に等しいため、二乗の計算がそのまま答えになります。

ポイントとなるのは、クラス変数として宣言された my_val = 1000000007 です。これは競技プログラミングなどで広く使われる大きな素数（10⁹ + 7）で、n が非常に大きい場合に n² が long 型の範囲を超えてオーバーフローするのを防ぐ役割を果たします。掛け算の前にそれぞれの剰余を取ることで、中間結果が大きくなりすぎないよう工夫されています。

main メソッドでは、long型の変数 my_int に 45687234 を代入し、この値を引数として compute_val メソッドを呼び出しています。計算結果はコンソールに出力され、上記のような実行結果が得られます。

まとめ

第n項が n² −（n−1）² である数列の総和は、望遠鏡和の性質により n² に等しくなります。Javaで大きな数を扱う場合は、適切な剰余演算を組み込むことでオーバーフローを回避し、正確な計算結果を得ることができます。