【C++】級数 1/1! + 2/2! + 3/3! + 4/4! + …… + n/n! の総和を求めるプログラム

本記事では、級数 1/1! + 2/2! + 3/3! + 4/4! + …… + n/n! の総和を求めるC++プログラムを紹介します。項数 n はユーザーからの入力として受け取ります。

この問題は、階乗を計算する関数を作成し、ループの各ステップで階乗を求めるという素朴な方法でも解くことができます。しかし、階乗の計算は単純な加算に比べて処理コストが高い操作です。そこで本記事では、前回計算した階乗の値を次のステップで再利用する効率的なアプローチを取り上げます。

例えば、3! = 3 × 2 × 1 であり、4! = 4 × 3! です。つまり、3! を変数に保存しておけば、それに 4 を掛けるだけで 4! を簡単に求められます。この仕組みにより、毎回ゼロから階乗を計算し直す無駄を省くことができます。

アルゴリズム

sum_series_fact(n)

begin
    res := 0
    denominator := 1
    for i in range 1 to n, do
        denominator := denominator * i
        res := res + i / denominator
    done
return res
end

ポイントは変数 denominator の扱い方です。各ループで denominator に i を掛けて更新することで、i 回目の時点で denominator は i! になります。あとは i を denominator で割った値 i / i! を res に加算していくだけで、級数の総和が求まります。

C++による実装例

#include<iostream>
using namespace std;
float series_result(int n) {
    float denominator = 1;
    float res = 0;
    for(int i = 1; i<= n; i++) {
        denominator *= i;
        res += float(i/denominator);
    }
    return res;
}
main() {
    int n;
    cout << "Enter number of terms: ";
    cin >> n;
    cout << "Result: " << series_result(n);
}

実行結果

Enter number of terms: 5
Result: 2.70833

Enter number of terms: 3
Result: 2.5

補足：この級数の興味深い性質

n / n! は 1 / (n−1)! と等しいため、この級数は「1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ……」と書き換えられます。これはネイピア数 e のテイラー展開と同じ形であり、n を大きくするほど総和は e ≒ 2.71828 に収束していきます。実際、n = 5 のときの結果 2.70833 もすでに e に非常に近い値となっています。