C++で数列 0, 9, 22, 39, 60, 85, 114, 147,… の第N項を求めるプログラム

問題概要

この記事では、数値 N が与えられたときに、次の数列の第 N 項を求める C++ プログラムの作成方法を解説します。

0, 9, 22, 39, 60, 85, 114, 147, …（全 N 項）

入出力の例

• 入力： N = 6
• 出力： 85

この例では、数列の 6 番目の項が 85 であるため、出力は 85 になります。プログラムの目的は、任意の N に対して対応する項の値を正しく返すことです。

解法のアプローチ：一般項を導出する

数列の第 N 項を求めるには、まず数列の一般項（N を使った式）を導出します。そのために、各項の値がどのように増加しているのかを観察してみましょう。

階差を見ると、9 → 13 → 17 → 21 → 25 と、毎回一定量（+4）ずつ増えていることが分かります。「階差が等差数列になる」とき、元の数列は放物線状に成長する二次数列であり、一般項は二次式で表せることが知られています。

さらに計算を進めると、この数列の一般項は次の公式で表されます。

T_N = 2 × N² + 3 × N − 5

公式の検証

• N = 1 のとき：2×1 + 3×1 − 5 = 0 ✔
• N = 2 のとき：2×4 + 3×2 − 5 = 9 ✔
• N = 6 のとき：2×36 + 3×6 − 5 = 85 ✔

実際の数列と一致していることが確認できます。

C++ プログラムの実装

#include <iostream>
using namespace std;

int findNTerm(int N) {
    int nthTerm = ((2 * N * N) + (3 * N) - 5);
    return nthTerm;
}

int main()
{
    int N = 8;
    cout<<N<<"th term of the series is "<<findNTerm(N);
    return 0;
}

実行結果

8th term of the series is 147

コードの解説

findNTerm 関数： 引数として受け取った N に対して、一般項の公式 T_N = 2N² + 3N − 5 を計算し、その値を返します。
main 関数： 変数 N に 8 を設定し、findNTerm を呼び出して第 8 項の値を出力します。

まとめ

数列のパターンを観察して一般項を導出できれば、ループで項を順番に計算する必要はなく、任意の第 N 項を O(1) の計算量で瞬時に求められます。規則性のある数列の問題を効率的に解くうえで、非常に有効なアプローチです。