C++で数列 3, 12, 29, 54, 86, 128, 177, 234, … のN番目の項を求めるプログラム

このチュートリアルでは、数列 3, 12, 29, 54, 86, 128, 177, 234, … のN番目の項を求めるC++プログラムについて解説します。

ここでは、ある数値が与えられ、その位置に対応する数列の項を求めることが課題となります。

数列の一般項

まず、この数列の規則性を確認しましょう。隣接する項同士の差は次のようになっています。

• 12 − 3 = 9
• 29 − 12 = 17
• 54 − 29 = 25

差が一定ではなく、等差数列（9, 17, 25, …）をなしていることから、これは二次式で表せる数列であると分かります。実際、N番目の項は次の一般項で表されます。

a(n) = 4n² − 3n + 2

検算してみると、n = 1 のとき 4 − 3 + 2 = 3、n = 2 のとき 16 − 6 + 2 = 12、n = 3 のとき 36 − 9 + 2 = 29 となり、正しく数列と一致します。

プログラム例

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

// 与えられた数列のN番目の項を計算する
int nthTerm(int n) {
    return 4 * pow(n, 2) - 3 * n + 2;
}

int main() {
    int N = 4;
    cout << nthTerm(N) << endl;
    return 0;
}

出力結果

54

コードの解説

関数 nthTerm() では、一般項 4n² − 3n + 2 をそのまま計算して返しています。引数として受け取った位置 N を式に代入するだけで、目的の項をO(1)の計算量で求められるため、非常に効率的です。

上記の例では N = 4 を渡しているため、出力は数列の4番目の項である 54 となります。