C++で級数 2+(2+4)+(2+4+6)+…+(2+4+6+…+2n) の総和を求める方法

この記事では、級数 2 + (2+4) + (2+4+6) + (2+4+6+8) + ... + (2+4+6+8+...+2n) の第 n 項を表す数値 n が与えられたとき、その級数の総和を求めるプログラムを C++ で作成する方法を解説します。

問題を理解するための例

入力：

n = 3

出力：20

説明：
sum = (2) + (2+4) + (2+4+6) = 2 + 6 + 12 = 20

解法1：二重ループを使うシンプルな方法

最も基本的な解法は、ネストされたループ（二重ループ）を使用する方法です。内側のループで級数の i 番目の項（2 から 2i までの偶数の和）を計算し、それを順次合計変数に加算していきます。

サンプルコード

#include <iostream>
using namespace std;
int calcSeriesSum(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i<=n; i++) {
        int even = 2;
        for (int j = 1; j<=i; j++) {
            sum += even;
            even += 2;
        }
    }
    return sum;
}
int main() {
    int n = 5;
    cout<<"Sum of the series 2 + (2+4) + (2+4+6) + ... + (2+4+6+...+"<<(2*n)<<") is "<<calcSeriesSum(n);
    return 0;
}

出力

Sum of the series 2 + (2+4) + (2+4+6) + ... + (2+4+6+...+10) is 70

しかしこの方法は、時間計算量が O(n²) のオーダーになるため、必ずしも効率的とは言えません。n が大きくなるほど計算時間が急激に増加します。

解法2：数学の公式を使う効率的な方法

より効率的なのは、級数の総和を数学的に導出し、公式として利用するアプローチです。

対象となる級数は次の通りです。

2 + (2+4) + (2+4+6) + (2+4+6+8) + ... + (2+4+6+8+...+2n)

まず、級数の第 n 項は次のように表せます。

a_n = (2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n) = n² + n

つまり a_n は「n までの偶数の総和」を意味します。

したがって、級数全体の総和は以下のように変形できます。

sum = 2 + (2+4) + (2+4+6) + (2+4+6+8) + ... + (2+4+6+8+...+2n)
sum = Σ (n² + n)
sum = Σn² + Σn
sum = [ (n*(n+1)*(2n + 1))/6 ] + [ (n*(n+1))/2 ]
sum = ½ (n*(n+1)) [(2n + 1)/3 + 1]
sum = ½ (n*(n+1)) [(2n + 1 + 3)/3]
sum = ½ (n*(n+1)) [2(n+2)/3]
sum = ⅓ n*(n+1)(n+2)

この結果から、級数の総和は n(n+1)(n+2)/3 という単一の公式で求められることが分かります。ループ処理が不要になるため、時間計算量は O(1) に大幅に改善されます。

サンプルコード

#include <iostream>
using namespace std;
int calcSeriesSum(int n) {
    return ((n)*(n+1)*(n+2)/3);
}
int main() {
    int n = 5;
    cout<<"Sum of the series 2 + (2+4) + (2+4+6) + ... + (2+4+6+...+"<<(2*n)<<") is "<<calcSeriesSum(n);
    return 0;
}

出力

Sum of the series 2 + (2+4) + (2+4+6) + ... + (2+4+6+...+10) is 70

まとめ

級数 2 + (2+4) + (2+4+6) + ... + (2+4+6+...+2n) の総和は、数学的に導出することで n(n+1)(n+2)/3 という公式で一発に計算できます。二重ループでは O(n²) かかる計算が、公式を使えば O(1) で完了するため、パフォーマンスを重視する場面では公式ベースの解法を採用するのが望ましいでしょう。