数列 0, 2, 4, 8, 12, 18… のN番目の項を求めるC++プログラム

問題概要

この問題では、整数 N が与えられます。求めるのは、数列 0, 2, 4, 8, 12, 18 … のN番目の項です。数列のパターンを観察して一般項（公式）を導き出し、それを計算するC++プログラムを作成しましょう。

入出力の例

まず、具体例を使って問題を確認します。

入力

N = 5

出力

12

N = 5 のとき、数列の5番目の項は 12 となります。

解法アプローチ

最も効率的な解法は、数列のN番目の項を表す一般項（公式）を導出することです。そのためには、まず数列を注意深く観察し、パターンを一般化する必要があります。

数列の観察

隣り合う項同士の差に注目すると、次のような規則性が見えてきます。

• 2 − 0 = 2
• 4 − 2 = 2
• 8 − 4 = 4
• 12 − 8 = 4
• 18 − 12 = 6

差は「2, 2, 4, 4, 6, 6 …」と、2項ごとに2ずつ増加する綺麗なパターンになっています。

一般項の公式

この観察から、N番目の項は次の公式で求められます。

T(N) = ( N + (N − 1) × N ) / 2

この式は N + N × (N − 1) = N² と整理できるため、実質的には T(N) = ⌊N² / 2⌋（N² を2で割った値の切り捨て）と同じ意味になります。

検証： N = 5 の場合、T(5) = (5 + 4 × 5) / 2 = 25 / 2 = 12（整数除算）となり、実際の出力と一致します。

この方法の大きな利点は、ループや再帰が一切不要なことです。計算量は O(1) であり、Nがどれほど大きくても即座に答えを求められます。

C++での実装例

上記の解法を実装したプログラムがこちらです。

#include <iostream>
using namespace std;

int calcNthTerm(int N) {
    return (N + N * (N - 1)) / 2;
}

int main() {
    int N = 10;
    cout << N << "th term of the series is " << calcNthTerm(N);
    return 0;
}

出力

10th term of the series is 50

N = 10 のとき、T(10) = (10 + 9 × 10) / 2 = 100 / 2 = 50 となり、正しく計算できていることがわかります。

まとめ

数列 0, 2, 4, 8, 12, 18 … のN番目の項は、公式 T(N) = (N + (N−1) × N) / 2 を使えば O(1) で求められます。「隣接する項の差を観察してパターンを一般化する」というアプローチは、競技プログラミングにおいて非常に重要なスキルなので、ぜひマスターしておきましょう。