C++で数列0、8、64、216、512、…のn番目の項を求める方法

この記事では、整数値 N が与えられたときに、次の数列の n 番目の項を求める方法を解説します。

0, 8, 64, 216, 512, 1000, 1728, 2744…

問題の例

入力：N = 6
出力：1000

解法のアプローチ

数列の n 番目の項を求めるには、まず数列のパターンを注意深く観察することが重要です。この数列は「偶数の3乗」で構成されており、最初の項が 0 になっています。

つまり、数列は次のように分解できます。

[0]³, [2]³, [4]³, [6]³, [8]³, [10]³…

各項を一般化して確認してみましょう。

T1 = [0]³ = [2×(1−1)]³

T2 = [2]³ = [2×(2−1)]³

T3 = [4]³ = [2×(3−1)]³

T4 = [6]³ = [2×(4−1)]³

T5 = [8]³ = [2×(5−1)]³

以上のことから、この数列の n 番目の項は { [2×(N−1)]³ } という一般式で表せることがわかります。この式を使えば、ループで数列を順に計算する必要がなく、O(1) の定数時間で答えを求められるのがポイントです。

C++での実装例

以下は、上記の解法の動作を示すC++プログラムです。

#include <iostream>
using namespace std;

long findNthTermSeries(int n){
    return ((2*(n-1))*(2*(n-1))*(2*(n-1)));
}

int main(){
    int n = 12;
    cout<<n<<"番目の項は "<<findNthTermSeries(n);
    return 0;
}

実行結果

12番目の項は 10648

まとめ

このように、数列の規則性を見抜くことで、シンプルな一般式を導き出すことができます。今回の数列は「偶数の3乗」というパターンだったため、n 番目の項は [2×(N−1)]³ として即座に計算できました。数列の問題に取り組む際は、まず各項の関係性や差分を観察し、一般式を見つけることが効率的な解法への近道となります。