数列 1、6、18、40、75、… のN番目の項を求めるC++プログラム

この問題では、整数 N が与えられます。求めたいのは、次の数列のN番目の項です。

1, 6, 18, 40, 75, …

まず、具体例を使って問題を確認してみましょう。

入力

N = 4

出力

40

説明

4番目の項は、次のように計算できます。

(4 × 4 × 5) / 2 = 40

解法アプローチ

この問題を解く最もシンプルな方法は、数列の一般項（N番目の項を表す公式）を利用することです。この数列は次の公式で表せます。

N番目の項 = ( N × N × (N + 1) ) / 2

この公式に各項の値を代入して検証してみると、

• N = 1 のとき：(1 × 1 × 2) / 2 = 1
• N = 2 のとき：(2 × 2 × 3) / 2 = 6
• N = 3 のとき：(3 × 3 × 4) / 2 = 18
• N = 4 のとき：(4 × 4 × 5) / 2 = 40
• N = 5 のとき：(5 × 5 × 6) / 2 = 75

となり、与えられた数列と完全に一致します。この公式を使えば、ループ処理を行わずにO(1)の計算量で任意のN番目の項を直接求めることができます。

実装例

それでは、この解法がどのように動作するかを示すC++プログラムを見てみましょう。

#include <iostream>
using namespace std;

int calcNthTerm(int N) {
    return ((N * N * (N + 1)) / 2);
}

int main() {
    int N = 5;
    cout << N << "番目の項の値は " << calcNthTerm(N);
    return 0;
}

出力

5番目の項の値は 75

まとめ

本記事では、数列 1, 6, 18, 40, 75, … のN番目の項を求める方法を解説しました。ポイントは、数列のパターンから一般項「N × N × (N + 1) / 2」を導き出すことです。この公式を用いれば、計算量O(1)で効率的に答えを求められるため、Nが非常に大きな値であっても高速に処理できます。