C++で級数「9, 45, 243, 1377, …」の第N項を求める方法

この問題では、整数値 N が与えられます。私たちのタスクは、次の級数の第N項を求めることです。

9, 45, 243, 1377, 8019, …

問題の理解

まず、具体例を使って問題を確認しましょう。

入力 : N = 4
出力 : 1377

N = 4 の場合、級数の4番目の項である 1377 が出力されれば正解となります。

解法アプローチ

この問題に対するシンプルな解法は、級数を観察して一般項（第N項の式）を導出することです。各項を注意深く観察すると、次のようなパターンが見えてきます。

(1ⁿ + 2ⁿ) × 3ⁿ

実際に検証してみましょう。

• n = 1 の場合 : (1¹ + 2¹) × 3¹ = 3 × 3 = 9
• n = 2 の場合 : (1² + 2²) × 3² = 5 × 9 = 45
• n = 3 の場合 : (1³ + 2³) × 3³ = 9 × 27 = 243
• n = 4 の場合 : (1⁴ + 2⁴) × 3⁴ = 17 × 81 = 1377

このように、すべての項が一般式 (1ⁿ + 2ⁿ) × 3ⁿ で表せることが確認できます。

サンプルプログラム

上記の解法を実装したC++プログラムを以下に示します。

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
long findNthTermSeries(int n){
    return ((pow(1, n) + pow(2, n)) * pow(3, n));
}
int main(){
    int n = 4;
    cout<<n<<"番目の項の値は "<<findNthTermSeries(n);
    return 0;
}

実行結果

4番目の項の値は 1377

コードの解説

関数 findNthTermSeries() では、math.h ヘッダーの pow() 関数を使用して 1ⁿ、2ⁿ、3ⁿ をそれぞれ計算し、それらを組み合わせて一般項 (1ⁿ + 2ⁿ) × 3ⁿ を求めています。main() 関数では n = 4 を設定して関数を呼び出し、計算結果を出力しています。このアプローチにより、任意の N に対して級数の第N項を効率的に求めることができます。