【C++】M番目とN番目の項が与えられたときに等比数列（GP）のP番目の項を求める方法

この問題では、m、n、m番目の項、n番目の項、p の5つの値が与えられます。私たちの課題は、等比数列（GP：Geometric Progression）の M番目と N番目の項が分かっているとき、その数列の P番目の項を求めることです。

つまり、等比数列の m番目の項と n番目の項の値をもとにして、同じ数列の p番目の項を計算する必要があります。

具体例を使って問題を確認してみましょう。

入力

m = 7, mthTerm = 1458, n = 10, nthterm = 39366, p = 3

出力

18

解き方のアプローチ

ここでは、ある等比数列が与えられているものとします。この等比数列は次のように表せます。

GP = a , a×r , a×r2, a×r3, …

一般項（T番目の項）を求める公式は以下の通りです。

T番目の項 = a × r(T-1)

ここで、m番目の項と n番目の項が与えられているので、それぞれ次のように書けます。

m番目の項 = a × (r ^ (m-1))
n番目の項 = a × (r ^ (n-1))

この2つの式を辺々割り算すると、初項 a が消えて次の式が得られます。

m番目の項 ÷ n番目の項 = r ^ (m - n)

この式から公比 r の値を求めることができます。さらに、m番目の項の値を使えば、初項 a も次のように計算できます。

m番目の項 = a × (r^(m-1))

こうして a と r の値が分かれば、p番目の項は次の公式で簡単に求められます。

p番目の項 = a × (r^(p-1))

コードのポイント

• findRinGP()：m番目と n番目の項から公比 r を計算します。m と n の大小関係に応じて、指数の符号が負にならないように処理しています。
• findTermGP()：求めた公比 r から初項 a を逆算し、p番目の項を返します。
• 計算量は O(1) で、非常に効率的な解法です。

この解法の動作を示すプログラムがこちらです。

例

#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
double findRinGP(double m, double n, double mth, double nth) {
    if (m < n)
        return pow(nth / mth, 1.0 / (n - m));
    return pow(mth / nth, 1.0 / (m - n));
}
double findTermGP(int m, int n, double mth, double nth, int p) {
    double r = findRinGP(m, n, mth, nth);
    double a = mth / pow(r, (m - 1));
    return ( a * pow(r, (p - 1)) );
}
int main() {
    int m = 7, n = 10, p = 5;
    double mth = 1458, nth = 39366;
    cout<<"The "<<p<<"th of the series is "<<findTermGP(m, n, mth, nth, p);
    return 0;
}

出力

The 5th of the series is 162

この例では、公比 r = 3、初項 a = 2 の等比数列（2, 6, 18, 54, 162, …）が導かれ、5番目の項として 162 が出力されます。同様に p = 3 を指定すれば 18 が得られます。