C++で初項と公差が与えられた等差数列（AP）に特定の数値が含まれるか判定する方法

等差数列（Arithmetic Progression：AP）の初項 a と公差 d が与えられたとき、指定した数値 x がその数列の項として存在するかどうかを判定する問題について解説します。

例えば、初項 a = 1、公差 d = 3 の場合、数列は 1, 4, 7, 10, ... となります。ここで x = 7 が数列に含まれるかを調べると、答えは「はい」となります。

解法のアプローチ

この問題は、以下の手順で効率的に解くことができます。

• 公差 d が 0 の場合： 数列は定数列になるため、a == x であれば true を返し、そうでなければ false を返します。
• 公差 d が 0 でない場合： x が一般項 x = a + n × d（n は非負の整数）を満たすかを確認します。具体的には、(x - a) % d == 0 かつ (x - a) / d >= 0 が成り立てば、x は数列の項です。

サンプルコード

#include <iostream>
using namespace std;

bool isInAP(int a, int d, int x) {
    if (d == 0)
        return (x == a);
    return ((x - a) % d == 0 && (x - a) / d >= 0);
}

int main() {
    int a = 1, x = 7, d = 3;
    if (isInAP(a, d, x))
        cout << "The value " << x << " is present in the AP";
    else
        cout << "The value " << x << " is not present in the AP";
}

出力結果

The value 7 is present in the AP

処理のポイント

このアルゴリズムの計算量は O(1) であり、ループを使って数列の各項を順番に比較する必要がありません。(x - a) が公差 d で割り切れること、そしてその商が 0 以上であることを確認するだけで、x が数列に含まれるかを即座に判定できます。特に、負の公差を持つ数列にも対応できる点が実用上重要です。