【C++】ターゲット命中確率が与えられたときのプレイヤーの勝利確率を求める方法

この問題では、4つの値 p、q、r、s が与えられ、ターゲットへの命中確率が分かっている場合に、プレイヤーが勝利する確率を求めることが課題となります。

ここでは、2人のプレイヤーがアーチェリー競技を行っているとします。プレイヤー1がターゲットに命中する確率は p/q、プレイヤー2が命中する確率は r/s として定義されます。求めたいのは、プレイヤー1がこのゲームに勝つ確率です。

それでは、具体例を使って問題を確認しましょう。

入力

p = 3, q = 5, r = 2, s = 5

出力

0.789

解法のアプローチ

この解法には確率に関する基礎知識が必要です。

プレイヤーがターゲットを射る機会の回数には上限がなく、両者とも何度でもターゲットを狙うことができます。そのため、勝敗の計算は試行回数に依存しないものとして扱えます。

すなわち、
・プレイヤー1が命中する確率を P1 = p/q とすると、外れる確率は「1 − p/q」
・プレイヤー2が命中する確率を P2 = r/s とすると、外れる確率は「1 − r/s」
となります。

試行回数が無限である場合、プレイヤー1が勝利する確率は次のように展開できます。

win(P1) + lost(P1)×lost(P2)×win(P1) + lost(P1)×lost(P2)×lost(P1)×lost(P2)×win(P1) + …

これを定式化すると、

P1 + (1−P1)(1−P2)×P1 + (1−P1)(1−P2)×(1−P1)(1−P2)×P1 + …

これは無限等比級数（等比数列の無限和）であり、各要素は次のように対応します。

初項 A = P1
公比 R = (1 − P1) × (1 − P2)

公比 R は 1 未満であるため、無限等比級数の和 S は次の公式で求められます。

S = A / (1 − R)

したがって、プレイヤー1が勝利する確率は次の式で表されます。

S = (p/q) ÷ { 1 − (1 − p/q) × (1 − r/s) }

解法の実装例（C++）

#include <iostream>
using namespace std;
double calcWinningPropP1(double p, double q, double r, double s){
    return (p / q) / (1 - ( (1 - (p/q)) * (1 - (r/s)) ) );
}
int main() {
    double p = 3, q = 5, r = 2, s = 5;
    cout<<"The probability of player 1 winning is "<<calcWinningPropP1(p, q, r, s);
    return 0;
}

出力

The probability of player 1 winning is 0.789474

計算の結果、プレイヤー1が勝利する確率は約 0.789（78.9%）であることが分かります。このように、無限等比級数の和の公式を活用することで、試行回数に上限のないゲームの勝利確率でも、効率よく正確に求めることが可能になります。