Pythonで複素数の根を持つラゲール級数を生成する方法

PythonのNumPyライブラリでは、numpy.polynomial.laguerreモジュールに含まれるlaguerre.lagfromroots()メソッドを使用することで、指定した根（解）を持つラゲール級数を簡単に生成できます。

このメソッドは、ラゲール級数の係数を格納した1次元配列を返します。重要なポイントとして、すべての根が実数であれば結果は実数配列になりますが、根の一部でも複素数が含まれている場合は、計算結果の係数がすべて実数であったとしても、出力は複素数型の配列になります。

引数rootsには、求めたい根を要素として含むシーケンス（リストやタプルなど）を渡します。

実行手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

from numpy.polynomial import laguerre as L

次に、虚数単位jを定義し、lagfromroots()メソッドに共役な複素数のペア（-j と j）を根として渡して、ラゲール級数を生成します。

j = complex(0,1)
print("Result...\n", L.lagfromroots((-j, j)))

続いて、生成された配列のデータ型（dtype）を確認します。

print("\nType...\n", L.lagfromroots((-j, j)).dtype)

さらに、配列の形状（shape）も確認してみましょう。

print("\nShape...\n", L.lagfromroots((-j, j)).shape)

サンプルコード全体

from numpy.polynomial import laguerre as L

# lagfromroots()メソッドで、指定した根を持つラゲール級数を生成する
# 戻り値は係数の1次元配列。根に複素数が含まれる場合、
# 結果の係数が実数でも出力は複素数型になる点に注意。

j = complex(0,1)

print("Result...\n", L.lagfromroots((-j, j)))

# データ型を取得
print("\nType...\n", L.lagfromroots((-j, j)).dtype)

# 形状を取得
print("\nShape...\n", L.lagfromroots((-j, j)).shape)

実行結果

Result...
    [ 3.+0.j -4.+0.j 2.-0.j]

Type...
complex128

Shape...
(3,)

結果の解説

実行結果から、以下のことがわかります。

• 根として -j と j を渡すと、係数 [3.+0.j, -4.+0.j, 2.-0.j] のラゲール級数が得られます。虚部は0ですが、データ型は複素数になっています。
• データ型は complex128（倍精度複素数）です。これは、入力の根に複素数が含まれていたためです。
• 配列の形状は (3,)、つまり3つの係数を持つ1次元配列であることを示しています。

このように、lagfromroots()メソッドを使えば、根から直接ラゲール多項式の係数を求めることができ、複素数の根にも柔軟に対応できます。