C++で魔方陣の欠けている対角要素を埋める方法

魔方陣の対角要素を埋める問題とは

3×3の行列を考えます。この行列の対角要素（左上・中央・右下の要素）は、初期状態では空（0）になっています。行の合計、列の合計、対角線の合計がすべて等しくなるように、空いている対角要素を埋めるのがこの問題の目的です。

例として、次のような行列を考えてみましょう。

対角要素を適切な値で埋めると、行列は次のようになります。

この結果、すべての行・列・対角線の合計が15で一致しており、正しく魔方陣が完成していることが確認できます。

対角要素を求める計算式

対角要素を x（左上）、y（中央）、z（右下）とすると、それぞれ次の式で求められます。なお、ここでの添字は1から始まる表記です。

• x = (M[2,3] + M[3,2]) / 2
• z = (M[1,2] + M[2,1]) / 2
• y = (x + z) / 2

3×3の魔方陣では、行・列・対角線の合計がすべて等しいという性質が成り立つため、対角要素以外の8つの値が分かれば、残りの3つの対角要素は上記の式で一意に決まります。

C++での実装例

以下は、上記の計算式を使って対角要素を埋めるC++のサンプルコードです。

#include <iostream>
using namespace std;

// 行列の内容を表示する関数
void displayMatrix(int matrix[3][3]) {
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++)
            cout << matrix[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
}

// 対角要素を計算して埋める関数
void fillDiagonal(int matrix[3][3]) {
    matrix[0][0] = (matrix[1][2] + matrix[2][1]) / 2;
    matrix[2][2] = (matrix[0][1] + matrix[1][0]) / 2;
    matrix[1][1] = (matrix[0][0] + matrix[2][2]) / 2;
    cout << "埋め込み後の行列" << endl;
    displayMatrix(matrix);
}

int main() {
    int matrix[3][3] = {{ 0, 7, 6 },
                        { 9, 0, 1 },
                        { 4, 3, 0 }};
    cout << "元の行列" << endl;
    displayMatrix(matrix);
    fillDiagonal(matrix);
}

実行結果

元の行列
0 7 6
9 0 1
4 3 0
埋め込み後の行列
2 7 6
9 5 1
4 3 8

コードの解説

fillDiagonal関数では、対角要素以外の値を組み合わせて、3つの対角要素を順に計算しています。

• matrix[0][0]（左上）は、対角線上にない要素 matrix[1][2] と matrix[2][1] の平均から求めます。
• matrix[2][2]（右下）は、matrix[0][1] と matrix[1][0] の平均から求めます。
• matrix[1][1]（中央）は、求めた左上と右下の値の平均から求めます。

実行結果を見ると、各行・各列・両対角線の合計がすべて15で一致しており、対角要素が正しく埋められていることがわかります。