C++で対角優位行列を判定するプログラムの作成方法

このチュートリアルでは、C++を使って「与えられた行列が対角優位行列（対角優勢行列）かどうか」を判定するプログラムを作成します。

対角優位行列とは？

ある行列が対角優位行列であるとは、各行において、対角要素以外の要素の絶対値の合計が、その行の対角要素の絶対値以下であることを指します。

次の行列を見てみましょう。

4 2 1
3 5 2
2 4 7

この行列は対角優位行列です。理由は以下の通りです。

4 > 2 + 1
5 ≥ 3 + 2
7 > 4 + 2

すべての対角要素が、同じ行内の非対角要素の合計以上になっていることが確認できます。

解決手順

• 行列の各行・各列を順番に走査します。

  • その行の非対角要素の絶対値の合計を求めます。

  • 合計値と対角要素の絶対値を比較します。

  • 非対角要素の合計が対角要素より大きい場合は「No」を出力します。

• すべての行で条件を満たしていれば「Yes」を出力します。

サンプルコード

それでは、実際のコードを見てみましょう。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 3
bool isDiagonallyDominantMatrix(int matrix[N][N], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int sum = 0;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i != j) {
                sum += abs(matrix[i][j]);
            }
        }
        if (abs(matrix[i][i]) < sum) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
int main() {
    // int matrix[N][N] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
    int matrix[N][N] = {{4, 2, 1}, {3, 5, 2}, {2, 4, 7}};
    if (isDiagonallyDominantMatrix(matrix, 3)) {
        cout << "Yes" << endl;
    }
    else {
        cout << "No" << endl;
    }
    return 0;
}

コードのポイント

• abs() 関数を使用することで、負の値を含む行列にも対応できます。

• 時間計算量は O(n²) であり、n×n の行列に対して効率的に動作します。

実行結果

上記のコードを実行すると、次の出力が得られます。

Yes

コメントアウトされている {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} の行列に変更すると、対角要素が非対角要素の合計より小さいため「No」と出力されます。

まとめ

このように、各行ごとに非対角要素の合計と対角要素を比較するだけで、対角優位行列かどうかを簡単に判定できます。数値解析や連立一次方程式の反復解法（ヤコビ法・ガウス＝ザイデル法など）では、収束性の保証に関わる重要な概念なので、ぜひ理解しておきましょう。

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