matplotlibで2次元FEM（有限要素法）の結果を可視化する方法

2次元FEM結果をmatplotlibでプロットする方法

有限要素法（FEM：Finite Element Method）は、さまざまな材料タイプのモデリングや複雑な形状の解析、設計の一部に作用する局所的な影響の可視化など、幅広い用途で活用されている数値解析手法です。FEMの基本的な考え方は、大きな空間領域を「有限要素」と呼ばれる単純な部分に分割し、各要素を記述する簡単な方程式を組み合わせて、領域全体を表す大規模な連立方程式系を構築するというものです。

この記事では、Pythonのmatplotlibライブラリを使って、2次元FEMの計算結果をコンター図（等高線図）として可視化する手順を解説します。

実装の手順

matplotlibで2次元FEMの結果をプロットするには、以下のステップを実行します。

• 図のサイズを設定し、サブプロット間および周囲のパディングを調整します。
• numpyを使って、節点（ノード）、要素、節点値のデータポイントを作成します。
• 節点データポイントを転置して、x座標とy座標に分解します。
• tricontourf()関数を使って、塗りつぶしの三角グリッドコンタープロット（3D塗りつぶし等高線図）を作成します。
• show()メソッドを呼び出して、図を表示します。

コード例

以下は、7つの節点と6つの三角形要素からなる簡単なメッシュに対して、各節点の値をコンター図として描画するサンプルコードです。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 図のサイズとレイアウトを設定
plt.rcParams["figure.figsize"] = [7.00, 3.50]
plt.rcParams["figure.autolayout"] = True

# 節点の座標を定義
nodes = np.array([
   [0.0, 0.0],
   [1.0, 0.0],
   [2.0, 0.5],
   [0.0, 1.0],
   [1.0, 1.0],
   [1.7, 1.3],
   [1.0, 1.7]])

# 三角形要素を定義（節点番号の組み合わせ）
elements = np.array([
   [1, 2, 5],
   [5, 4, 1],
   [2, 3, 6],
   [6, 5, 2],
   [4, 5, 7],
   [5, 6, 7]])

# 各節点における値
cvalues = [1, 2, 1, 2, 7, 4, 5]

# 節点配列を転置してx座標・y座標を取得
x, y = nodes.T

# 三角形要素を使った塗りつぶしコンタープロットを描画
plt.tricontourf(x, y, elements - 1, values, 12, cmap='copper')

plt.show()

ここでのポイントは、elements - 1という処理です。numpy配列のインデックスは0始まりであるため、1始まりで定義した節点番号を0始まりに変換しています。また、cmap='copper'を指定することで、銅色を基調としたカラーマップで値の分布が表現されます。第5引数の12は、コンターのレベル数（等高線の分割数）を意味します。

実行結果

上記のコードを実行すると、三角形メッシュ上の節点値の分布が、滑らかに補間された塗りつぶしコンター図として表示されます。値が大きい領域ほど明るい色で、小さい領域ほど暗い色で表現され、FEM解析における物理量（温度、応力など）の空間分布を直感的に把握できます。

実際のFEM解析では、このように得られた節点値をもとに、tricontourf()を利用することで、市販のポストプロセッサーのようなカラーコンタープロットを簡単に作成できるため、解析結果の確認やプレゼンテーション資料の作成に非常に便利です。