Python（NumPy）で4次元配列と3次元配列のクロネッカー積を計算する方法

クロネッカー積（Kronecker Product）とは

PythonのNumPyでは、numpy.kron()メソッドを使うことで、4次元配列と3次元配列のように次元数が異なる配列同士でもクロネッカー積を簡単に求めることができます。クロネッカー積とは、第1の配列の各要素によって第2の配列全体をスケーリングしたブロックから構成される複合配列のことです。

kron()関数は、引数aとbの次元数が同じであることを前提としており、次元数が異なる場合は、小さい方の配列の先頭にサイズ1の軸が自動的に追加されます。a.shape = (r0, r1, …, rN)、b.shape = (s0, s1, …, sN) のとき、クロネッカー積の形状は (r0*s0, r1*s1, …, rN*sN) となり、各要素は次式のように定義されます。

kron(a,b)[k0,k1,...,kN] = a[i0,i1,...,iN] * b[j0,j1,...,jN]

実行手順

1. ライブラリのインポート

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np

2. 配列の作成

arange()とreshape()メソッドを使って、異なる次元数を持つ2つのNumPy配列を作成します。ここでは、形状(2, 5, 2, 2)の4次元配列と、形状(2, 3, 3)の3次元配列を用意します。

arr1 = np.arange(40).reshape((2,5,2,2))
arr2 = np.arange(18).reshape((2,3,3))

3. 配列の表示

作成した配列を表示して内容を確認します。

print("Array1...\n",arr1)
print("\nArray2...\n",arr2)

4. 次元数の確認

ndim属性で、両配列の次元数を確認します。

print("\nDimensions of Array1...\n",arr1.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",arr2.ndim)

5. 形状の確認

shape属性で、両配列の形状を確認します。

print("\nShape of Array1...\n",arr1.shape)
print("\nShape of Array2...\n",arr2.shape)

6. クロネッカー積の計算

2つの配列のクロネッカー積を求めるには、Python Numpyのnumpy.kron()メソッドを使用します。

print("\nResult (Kronecker product)...\n",np.kron(arr1, arr2))

完全なサンプルコード

import numpy as np

# arange()とreshape()メソッドを使って、異なる次元数の2つのNumPy配列を作成
arr1 = np.arange(40).reshape((2,5,2,2))
arr2 = np.arange(18).reshape((2,3,3))

# 配列の表示
print("Array1...\n",arr1)
print("\nArray2...\n",arr2)

# 両配列の次元数を確認
print("\nDimensions of Array1...\n",arr1.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",arr2.ndim)

# 両配列の形状を確認
print("\nShape of Array1...\n",arr1.shape)
print("\nShape of Array2...\n",arr2.shape)

# numpy.kron()メソッドで2つの配列のクロネッカー積を計算
print("\nResult (Kronecker product)...\n",np.kron(arr1, arr2))

出力結果

Array1...
[[[[ 0  1]
   [ 2  3]]

  [[ 4  5]
   [ 6  7]]

  [[ 8  9]
   [10 11]]

  [[12 13]
   [14 15]]

  [[16 17]
   [18 19]]]


 [[[20 21]
   [22 23]]

  [[24 25]
   [26 27]]

  [[28 29]
   [30 31]]

  [[32 33]
   [34 35]]

  [[36 37]
   [38 39]]]]

Array2...
[[[ 0  1  2]
  [ 3  4  5]
  [ 6  7  8]]

 [[ 9 10 11]
  [12 13 14]
  [15 16 17]]]

Dimensions of Array1...
4

Dimensions of Array2...
3

Shape of Array1...
(2, 5, 2, 2)

Shape of Array2...
(2, 3, 3)

Result (Kronecker product)...
[[[[  0   0   0   0   1   2]
   [  0   0   0   3   4   5]
   [  0   0   0   6   7   8]
   [  0   2   4   0   3   6]
   [  6   8  10   9  12  15]
   [ 12  14  16  18  21  24]]

  [[  0   0   0   9  10  11]
   [  0   0   0  12  13  14]
   [  0   0   0  15  16  17]
   [ 18  20  22  27  30  33]
   [ 24  26  28  36  39  42]
   [ 30  32  34  45  48  51]]

  [[  0   4   8   0   5  10]
   [ 12  16  20  15  20  25]
   [ 24  28  32  30  35  40]
   [  0   6  12   0   7  14]
   [ 18  24  30  21  28  35]
   [ 36  42  48  42  49  56]]

  ...

  （以降も同様にブロックが続きます）

ご覧のとおり、3次元配列arr2の先頭には自動的にサイズ1の軸が追加され、最終的な結果は形状(2, 10, 6, 6)の4次元配列として出力されます。これは「第1の配列の各要素 × 第2の配列全体」というブロック構造がそのまま反映されたものです。

ポイントまとめ

• クロネッカー積はnp.kron(a, b)ひとつで計算できる
• 次元数が異なる場合、小さい方の配列の先頭にサイズ1の軸が自動的に追加される
• 結果の形状は、各軸のサイズの積（r0*s0, r1*s1, …）になる
• 信号処理・画像処理・テンソル演算など、さまざまな分野で活用される演算