Python NumPyでデータに対する多項式の最小二乗近似を取得する方法

データに対する多項式の最小二乗近似（フィッティング）を求めるには、Python NumPy の polynomial.polyfit() メソッドを使用します。このメソッドは、低次から高次の順に並べられた多項式の係数を返します。y が 2 次元配列の場合、coef の k 列目の係数は、y の k 列目のデータに対する多項式近似を表します。

主なパラメータ

x（x 座標）

M 個のサンプル（データ）点 (x[i], y[i]) の x 座標を指定します。

y（y 座標）

サンプル点の y 座標を指定します。同じ x 座標を共有する複数組のサンプル点は、1 データセットにつき 1 列を含む 2 次元配列を y に渡すことで、polyfit を 1 回呼び出すだけで独立にフィットできます。

deg（次数）

フィッティング多項式の次数を指定します。deg が単一の整数の場合、deg 次までのすべての項がフィットに含まれます。

rcond（相対条件数）

フィットの相対条件数です。最大特異値と比較して rcond より小さい特異値は無視されます。デフォルト値は len(x)*eps で、eps はプラットフォームの float 型の相対精度（ほとんどの場合 約 2e-16）です。

full（戻り値の切り替え）

戻り値の内容を決定するスイッチです。False（デフォルト）の場合は係数のみが返され、True の場合は特異値分解による診断情報も併せて返されます。

w（重み）

重みを指定します。None でない場合、重み w[i] は x[i] における非二乗残差 y[i] - y_hat[i] に適用されます。理想的には、積 w[i]*y[i] の誤差がすべて同じ分散を持つように重みを選択します。逆分散重み付けを使用する場合は、w[i] = 1/sigma(y[i]) とします。デフォルト値は None です。

実装の手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import polynomial as P

x 座標を作成します。

x = np.linspace(-1,1,51)

x 座標を表示します。

print("X Co-ordinate...\n",x)

y 座標を作成して表示します。

y = x**3 - x + np.random.randn(len(x))
print("\nY Co-ordinate...\n",y)

データに対する多項式の最小二乗近似を取得するには、Python NumPy の polynomial.polyfit() を使用します。

c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
print("\nResult...\n",c)
print("\nResult...\n",stats)

コード例

import numpy as np
from numpy.polynomial import polynomial as P

# x座標
x = np.linspace(-1,1,51)

# x座標を表示
print("X Co-ordinate...\n",x)

# y座標
y = x**3 - x + np.random.randn(len(x))
print("\nY Co-ordinate...\n",y)

# polynomial.polyfit()で多項式の最小二乗近似を取得
# 戻り値は低次から高次の順に並べられた多項式の係数。
# yが2次元の場合、coefのk列目の係数はyのk列目のデータへのフィットを表す。
c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
print("\nResult...\n",c)
print("\nResult...\n",stats)

出力結果

X Co-ordinate...
[-1. -0.96 -0.92 -0.88 -0.84 -0.8 -0.76 -0.72 -0.68 -0.64 -0.6 -0.56
 -0.52 -0.48 -0.44 -0.4 -0.36 -0.32 -0.28 -0.24 -0.2 -0.16 -0.12 -0.08
 -0.04 0. 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.24 0.28 0.32 0.36 0.4
  0.44 0.48 0.52 0.56 0.6 0.64 0.68 0.72 0.76 0.8 0.84 0.88
  0.92 0.96 1. ]

Y Co-ordinate...
[ 0.24282445 -0.48320773 -1.18068109 -0.48486683 0.80514762 0.48976259
  0.31363813 -0.03382685 -0.92334611 0.86835062 0.24661201 0.9790978
  0.03782101 0.12213365 -1.37248029 1.99891304 -0.09825977 1.74524931
  0.70560858 0.15516069 0.69169705 0.76957712 -1.21919676 1.50064825
  1.32101339 -2.51479992 -0.28998783 -1.24293076 0.45927699 -0.53484746
  0.50455341 -0.06351788 -2.69585303 -0.46833578 1.4924168 -2.42374146
 -1.91934499 -1.36311466 -1.23946547 -1.56822005 -0.79648036 1.58269324
 -0.53682862 -0.90861958 -0.28174461 -0.10775622 0.58535687 1.06373501
 -2.28991738 2.01597286 -0.75841069]

Result...
[-0.17198829 -1.84107674 0.09439374 2.39030912]

Result...
[array([60.43653521]), 4, array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]