Pythonで斜辺と面積から直角三角形が成立するか判定し、底辺と高さを求める方法

問題概要

直角三角形の斜辺と面積が与えられたとき、その三角形の底辺と高さを求めます。条件を満たす三角形が存在しない場合は False を返します。

例えば、斜辺が 10、面積が 24 の場合、答えは (6, 8) となります。

解法のアプローチ

この問題は二分探索（バイナリサーチ）を使うことで効率的に解けます。考えるポイントは次の通りです。

• 直角三角形の面積は「0.5 × 底辺 × 高さ」で表されます。
• 斜辺が固定されているとき、底辺と高さが等しい（どちらも 斜辺 ÷ √2）ときに面積が最大になります。
• そのため、理論上の最大面積を与える値 s = √(hypo² / 2.0) を求め、指定された面積がこれを超えていれば、その斜辺では三角形が成立しません。
• 成立する場合は、底辺の候補を 0 から s の範囲で二分探索し、目的の面積に対応する底辺を絞り込みます。

アルゴリズムの手順

1. hypo_sq := hypo × hypo（斜辺の2乗）を計算する
2. s := √(hypo_sq / 2.0) を求める
3. maxArea := 底辺 s・斜辺 hypo から計算される面積を求める
4. area > maxArea であれば False を返す
5. left := 0.0、right := s で初期化する
6. |right − left| > 0.000001 の間、以下を繰り返す：
   • base := (left + right) / 2.0
   • calculate_area(base, hypo) ≥ area なら right := base、そうでなければ left := base
7. height := round(√(hypo_sq − base²)) として高さを求め、四捨五入する
8. base も四捨五入して整数にする
9. base と height を返す

実装例（Pythonコード）

以下が実際の実装例です。

from math import sqrt

def calculate_area(b, h):
    hei = sqrt(h*h - b*b)
    return 0.5 * b * hei

def solve(hypo, area):
    hypo_sq = hypo * hypo
    s = sqrt(hypo_sq / 2.0)
    maxArea = calculate_area(s, hypo)

    if area > maxArea:
        return False

    left = 0.0
    right = s

    while abs(right - left) > 0.000001:
        base = (left + right) / 2.0
        if calculate_area(base, hypo) >= area:
            right = base
        else:
            left = base

    height = round(sqrt(hypo_sq - base*base))
    base = round(base)
    return base, height

hypo = 10
area = 24
print(solve(hypo, area))

実行結果

入力

10, 24

出力

(6, 8)

計算量について

収束の許容誤差を ε = 0.000001 とした場合、二分探索の反復回数はおよそ log₂(s / ε) 回程度に収まり、非常に高速です。時間計算量は O(log(s/ε))、空間計算量は O(1) となります。