C++で2つのベクトルの外積(クロス積)を計算するプログラムの書き方

はじめに

本記事では、2つの3次元ベクトルの外積(クロス積)を計算するC++プログラムを紹介します。まず外積の数式的な定義を確認し、その後アルゴリズムとサンプルコード、実行結果まで順番に解説します。

外積の定義

いま、次のような2つのベクトルを考えます。

M = m₁i + m₂j + m₃k
N = n₁i + n₂j + n₃k

このとき、MとNの外積は次の式で表されます。

M × N = (m₂n₃ − m₃n₂)i − (m₁n₃ − m₃n₁)j + (m₁n₂ − m₂n₁)k

ここで、各括弧内の値がそれぞれ i、j、k 方向の単位ベクトルに掛かる係数(成分)となります。なお、外積の結果はスカラーではなく、入力した2つのベクトルのどちらにも垂直な方向を向くベクトルになる点に注意してください。

アルゴリズム

1. 関数 crossProduct() を宣言します。引数として、整数型の配列 v_A[](1つ目のベクトル)、v_B[](2つ目のベクトル)、c_P[](結果格納用)を受け取ります。
2. c_P[0] = v_A[1] * v_B[2] − v_A[2] * v_B[1](x成分)
3. c_P[1] = −(v_A[0] * v_B[2] − v_A[2] * v_B[0])(y成分)
4. c_P[2] = v_A[0] * v_B[1] − v_A[1] * v_B[0](z成分)
5. ベクトル v_A[] の各成分に値を設定します。
6. ベクトル v_B[] の各成分に値を設定します。
7. 結果格納用の配列 c_P[] を用意します。
8. 「Cross product:」という文字列を出力します。
9. 関数 crossProduct() を呼び出し、v_A[] と v_B[] の外積を計算します。
10. for文を使って、配列 c_P[] の各成分を順に出力します。

サンプルコード

#include <iostream>
#define n 3
using namespace std;

void crossProduct(int v_A[], int v_B[], int c_P[]) {
    c_P[0] = v_A[1] * v_B[2] - v_A[2] * v_B[1];
    c_P[1] = -(v_A[0] * v_B[2] - v_A[2] * v_B[0]);
    c_P[2] = v_A[0] * v_B[1] - v_A[1] * v_B[0];
}

int main() {
    int v_A[] = { 7, 6, 4 };
    int v_B[] = { 2, 1, 3 };
    int c_P[n];

    cout << "Cross product:";
    crossProduct(v_A, v_B, c_P);

    for (int i = 0; i < n; i++)
        cout << c_P[i] << " ";

    return 0;
}

実行結果

Cross product: 14 -13 -5

計算過程の解説

サンプルコードでは、v_A = {7, 6, 4}、v_B = {2, 1, 3} としています。各成分は次のように計算されます。

• x成分: 6 × 3 − 4 × 1 = 14
• y成分: −(7 × 3 − 4 × 2) = −(21 − 8) = -13
• z成分: 7 × 1 − 6 × 2 = 7 − 12 = -5

このように、関数 crossProduct() 内で各成分の計算を行い、その結果を配列 c_P[] に格納して出力しています。3×3の行列式(サラスの方法)を展開することでも同じ式が導けるため、理解を深めたい方は合わせて確認しておくとよいでしょう。