C++で級数「1×2×3 ＋ 2×3×4 ＋ 3×4×5 ＋ … ＋ n×(n+1)×(n+2)」の総和を求めるプログラム

問題の概要

本記事では、級数の第n項を指定する整数nが与えられたとき、C++で次の級数の総和を求めるプログラムを作成します。

1×2×3 + 2×3×4 + 3×4×5 + … + n×(n+1)×(n+2)

問題の説明：与えられた級数について、第n項までの和を求めます。これは「i×(i+1)×(i+2)」という形の項を、i = 1 から n まで順番に足し合わせることに相当します。

入出力例で問題を理解しよう

入力：

n = 5

出力：

420

説明：

1×2×3 + 2×3×4 + 3×4×5 + 4×5×6 + 5×6×7
= 6 + 24 + 60 + 120 + 210 = 420

解法1：ループで順番に足し合わせる方法

もっとも単純な解法は、1からnまでループを回し、各反復でその項の積を計算して合計用の変数（sumVar）に加えていく方法です。ループが終了した時点でsumVarを返します。

アルゴリズム

• ステップ1：i を 1 から n までループさせる。
  • ステップ1.1：sumVar を更新する → sumVar += i×(i+1)×(i+2)
• ステップ2：sumVar の値を出力する。

実装例

#include <iostream>
using namespace std;

// 第n項までの級数の和を計算する関数
int calcSeriesSum(int n){
    int sumVar = 0;
    // 各項 i*(i+1)*(i+2) を順に加算
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        sumVar = sumVar + ( (i)*(i+1)*(i+2) );
    return sumVar;
}

int main(){
    int n = 7;
    cout<<"The sum of series till "<<n<<" is "<<calcSeriesSum(n);
    return 0;
}

出力：

The sum of series till 7 is 1260

この方法は直感的で分かりやすい反面、計算時間が項数Nに比例して増えるため、nが大きくなると非効率になります（時間計算量 O(N)）。

解法2：数学の公式を使う高効率な方法

もう一つのアプローチは、級数の和を数学的に導出した公式を利用することです。この級数は、次のように総和記号で表すことができます。

Sum = Σ[i=1→n] i×(i+1)×(i+2)

これを展開して整理していきます。

Sum = Σ { (i² + i)(i + 2) }
    = Σ { i³ + i² + 2i² + 2i }
    = Σ { i³ + 3i² + 2i }
    = Σ i³ + 3・Σ i² + 2・Σ i

ここで、よく知られたべき乗の和の公式を使用します。

Σ i  = n(n+1)/2
Σ i² = n(n+1)(2n+1)/6
Σ i³ = {n(n+1)}² / 4

これらを代入して因数分解すると、

Sum = {n(n+1)}²/4 + 3・n(n+1)(2n+1)/6 + 2・n(n+1)/2
    = {n(n+1)}²/4 + n(n+1)(2n+1)/2 + n(n+1)
    = {n(n+1)/4} × { n(n+1) + 2(2n+1) + 4 }
    = {n(n+1)/4} × (n² + 5n + 6)
    = {n(n+1)/4} × (n+2)(n+3)

したがって、第n項までの級数の和は次の公式で一発に求められます。

Sum = n × (n+1) × (n+2) × (n+3) / 4

この公式を使えばループが不要になり、定数時間（O(1)）で答えが得られるため、非常に効率的です。

実装例

#include <iostream>
using namespace std;

// 公式 n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/4 を使って和を計算する関数
int calcSeriesSum(int n){
    int sumVar = 0;
    sumVar = ( (n)*(n + 1)*(n + 2)*(n + 3)/4 );
    return sumVar;
}

int main(){
    int n = 7;
    cout<<"The sum of series till "<<n<<" is "<<calcSeriesSum(n);
    return 0;
}

出力：

The sum of series till 7 is 1260

n = 7 の場合、「7×8×9×10 ÷ 4 = 1260」となり、ループ版と同じ結果が得られることが確認できます。

まとめ

級数「1×2×3 + 2×3×4 + … + n×(n+1)×(n+2)」の総和を求めるには、大きく分けて2つの方法があります。

• ループによる解法：各項を順に加算する素直な方法。時間計算量は O(N)。
• 公式による解法：「n×(n+1)×(n+2)×(n+3) ÷ 4」を直接計算する方法。時間計算量は O(1)。

パフォーマンスが重要な場面では、数学的公式を導出して定数時間で解くアプローチが有効です。ぜひ両方の実装を試して、違いを実感してみてください。