C++で数列 2、12、36、80、150… の n 番目の項を求める方法

本記事で扱う数列は「2, 12, 36, 80, 150, …」です。

この数列をよく観察すると、n 番目の項が n² + n³ という式で表せることに気づきます。実際に確認してみましょう。

• n = 1 のとき: 1² + 1³ = 1 + 1 = 2
• n = 2 のとき: 2² + 2³ = 4 + 8 = 12
• n = 3 のとき: 3² + 3³ = 9 + 27 = 36
• n = 4 のとき: 4² + 4³ = 16 + 64 = 80
• n = 5 のとき: 5² + 5³ = 25 + 125 = 150

このように、各項は「n の 2 乗と n の 3 乗の和」になっていることが確かめられます。つまり、任意の n 番目の項を一つの公式から直接計算できます。

アルゴリズム

• 求めたい項の番号 N を用意します。
• 数列の一般項の公式(n² + n³)を使って n 番目の項を計算します。
• 結果を出力します。

実装

以下は、上記のアルゴリズムを C++ で実装した例です。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int getNthTerm(int n) {
    return (n * n) + (n * n * n);
}
int main() {
    int n = 7;
    cout << getNthTerm(n) << endl;
    return 0;
}

出力

上記のコードを実行すると、次の結果が得られます。

392

n = 7 の場合、7² + 7³ = 49 + 343 = 392 となるため、公式どおりの正しい結果が出力されていることがわかります。このアプローチを使えば、ループで各項を順に足し合わせることなく、O(1) の計算量で任意の n 番目の項を求められます。