C++でヴァリニョンの平行四辺形の周囲長と面積を求める方法

ヴァリニョンの平行四辺形（Varignon's Parallelogram）とは、四角形の各辺の中点を順に結ぶことで形成される平行四辺形のことです。

四角形ABCDを考えてみましょう。各辺の中点をそれぞれP、Q、R、Sとします。これら4つの中点を結ぶと、必ず平行四辺形PQRSが形成されます。これが「ヴァリニョンの平行四辺形」と呼ばれるものです。

本記事では、四角形の2つの対角線の長さと面積が与えられたとき、ヴァリニョンの平行四辺形の周囲長と面積を求める方法を解説します。

入力例と出力例

入力: d1 = 6, d2 = 9, Area = 12
出力:
周囲長 = 15
面積 = 6

入力: d1 = 11, d2 = 13, Area = 32
出力:
周囲長 = 24
面積 = 16

解法のアプローチ

周囲長の導出

三角形ABCにおいて、PはABの中点、QはACの中点です。

中点定理より、PQ = (1/2) × AC が成り立ちます。

同様に三角形ADCに中点定理を適用すると、RS = (1/2) × BD となります。

したがって、以下の関係が導かれます。

• PQ = RS = (1/2) × AC
• PS = QR = (1/2) × BD

よって、平行四辺形PQRSの周囲長は次のように表せます。

PQRSの周囲長 = AC + BD（＝元の四角形の対角線の和）

面積の導出

PQRSの面積を求めるには、四角形ABCDを4つの三角形に分割して考えます。各三角形の面積は次の通りです。

• A1 = (1/4) × 三角形BADの面積
• A2 = (1/4) × 三角形ABCの面積
• A3 = (1/4) × 三角形BCDの面積
• A4 = (1/4) × 三角形ACDの面積

これらを合計すると、

A1 + A2 + A3 + A4 = (1/4) × (三角形ACD＋ABC＋BCD＋BADの面積の合計)

= (1/4) × 2 × 四角形ABCDの面積

= (1/2) × 四角形ABCDの面積

つまり、平行四辺形PQRSの面積は、元の四角形ABCDの面積の半分になります。

以上の公式を使えば、C++で簡単に周囲長と面積を計算できます。

C++での実装例

上記のアプローチを実装したC++コードは以下の通りです。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    float d1 = 6, d2 = 9, area_ABCD = 12;
    float area_PQRS = area_ABCD/2;
    float perimeter = d1 + d2;
    cout << "Area of parallelogram PQRS = " << area_PQRS << " and perimeter = " << perimeter;
    return 0;
}

実行結果

Area of parallelogram PQRS = 6 and perimeter = 15

まとめ

本記事では、ヴァリニョンの平行四辺形の性質と、その周囲長・面積の求め方について解説しました。中点定理を利用することで、周囲長は「元の四角形の対角線の和」、面積は「元の四角形の面積の半分」というシンプルな公式が導けることを確認しました。紹介したプログラムはC++以外にも、C、Java、Pythonなど他の言語でも同様に実装できますので、ぜひ試してみてください。