C++で周囲長と表面積から直方体の最大体積を求める方法

はじめに

周囲長 P と表面積 A が与えられたとき、その条件を満たす直方体の中で体積が最大になるものを求める問題を考えてみましょう。例えば、周囲長 P が 24、表面積 A が 24 の場合、最大体積は 8 になります。

直方体の各辺の長さを length(長さ)、breadth(幅)、depth(高さ)とすると、次の関係式が成り立ちます。

• 周囲長:P = 4 × (length + breadth + depth)
• 表面積:A = 2 × (length × breadth + breadth × depth + length × depth)
• 体積:V = length × breadth × depth

最大体積を求める考え方

この問題は最適化問題として定式化でき、ラグランジュの未定乗数法などを用いて解くと、体積が最大になるのは3辺が特定の関係を満たすときであることが分かります。このとき、一辺の長さは次の式で求められます。

length = (P − √(P² − 24A)) / 12

この length を使うと、体積は次の式で直接計算できます。

V = length × (A / 2 − length × (P / 4 − length))

C++での実装例

以下は、上記の数式を C++ で実装したサンプルコードです。周囲長 P = 20、表面積 A = 16 の場合の最大体積を計算しています。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

float maxVolumeCuboid(float Peri, float Area) {
    float length = (Peri - sqrt(Peri * Peri - 24 * Area)) / 12;
    float Vol = length * (Area / 2.0 - length * (Peri / 4.0 - length));
    return Vol;
}

int main() {
    float P = 20, A = 16;
    cout << "Maximum volume of the cuboid will be: " << maxVolumeCuboid(P, A);
}

実行結果

Maximum volume of the cuboid will be: 4.14815

コードの解説

maxVolumeCuboid 関数では、まず式 (P − √(P² − 24A)) / 12 を使って一辺の長さ length を求めています。ここで判別式 P² − 24A が負にならないことが前提となります。次に、求めた length を体積の式に代入し、最大体積 Vol を計算して返します。

この方法を使えば、周囲長と表面積の値から、条件を満たす直方体の最大体積を O(1) の計算量で効率的に求めることができます。