【C++】指定された周囲長から作れる長方形の最大面積を求める方法

はじめに

長方形の周囲長が与えられたとき、その周囲長を持つ長方形として考えられる最大の面積を求めるのが本記事のテーマです。

長方形の周囲長と面積の基礎知識

長方形とは、向かい合う2組の辺がそれぞれ等しく平行な平行四辺形の一種です。

周囲長（外周）とは

長方形の周囲長とは、4つの辺の長さをすべて足し合わせたものであり、長方形の外側を一周したときの総距離とも言えます。

周囲長を求める公式：
周囲長 ＝ 縦 ＋ 横 ＋ 縦 ＋ 横 ＝ 2 ×（縦 ＋ 横）

面積とは

一方、面積は長方形という図形の大きさ（広さ）を表します。

面積を求める公式：
面積 ＝ 縦 × 横

最大面積を求める考え方

与えられた周囲長から最大の面積を得るには、周囲長から適切な縦と横の長さを導き出す必要があります。ポイントは以下の通りです。

• 周囲長を4で割った値に対し、切り上げ（ceil）た値を縦（Length）とする
• 同じく切り捨て（floor）した値を横（Breadth）とする
• この組み合わせが、その周囲長で実現できる縦・横の最も大きな値になります

したがって、求める最大面積は次の式で表されます。

最大面積 ＝ ceil(周囲長 ÷ 4) × floor(周囲長 ÷ 4)

なお、周囲長が一定の長方形の中では、縦＝横＝周囲長÷4となる正方形のときに面積が最大化されることが数学的に知られています。周囲長が4で割り切れない場合には、切り上げと切り捨ての組み合わせが最良の解となります。

入出力例

• 入力：perimeter = 95
  出力：周囲長 95 の長方形として可能な最大面積は 552
• 入力：perimeter = 2.78
  出力：周囲長 2.78 の長方形として可能な最大面積は 0

プログラムのアプローチ

• 長方形の周囲長を入力として受け取ります。
• result ＝ ceil(perimeter / 4) × floor(perimeter / 4) を計算します。
• 結果を返し、画面に出力します。

このアルゴリズムは単純な算術演算のみで構成されているため、時間計算量・空間計算量ともに O(1) と非常に効率的です。

サンプルコード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 与えられた周囲長で作れる長方形の最大面積を計算する
int Maximum(float perimeter){
    int len = (int)ceil(perimeter / 4);
    int bre = (int)floor(perimeter / 4);
    // 面積を返す
    return len * bre;
}
int main(){
    float perimeter = 27;
    cout<<"maximum area of rectangle possible with given perimeter "<<perimeter<<" is: "<<Maximum(perimeter);
    return 0;
}

実行結果

上記のコードを実行すると、以下の出力が得られます。

maximum area of rectangle possible with given perimeter 27 is: 42

周囲長27の場合、27÷4＝6.75 となり、切り上げの7を縦、切り捨ての6を横とすることで、最大面積 7 × 6 ＝ 42 が得られます。