Pythonで最初のn個の自然数の二乗和を求めるプログラム

この記事では、与えられた問題文に対する解法とそのアプローチについて学びます。具体的には、最初のn個の自然数の二乗和(1² + 2² + 3² + … + n²)を求める方法を、2つの異なる手法を使って解説します。

問題文

正の整数Nが入力として与えられます。このとき、12 + 22 + 32 + … + N2 の値を計算してください。

この問題は、主に以下の2つの方法で解くことができます。

• 繰り返し処理による乗算と加算の計算
• 数学の公式を利用した直接計算

アプローチ1:繰り返し処理による計算

この方法では、1からnまでループを実行し、各i(1 ≤ i ≤ n)についてiの二乗を求め、変数smに順次加算していきます。シンプルで直感的な方法ですが、nが大きくなると計算量が増える点に注意が必要です。

コード例

def sqsum(n):
    sm = 0
    for i in range(1, n + 1):
        sm = sm + pow(i, 2)
    return sm

# メイン処理
n = 5
print(sqsum(n))

出力結果

55

n = 5の場合、1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55となり、正しく計算できていることが確認できます。

アプローチ2:数学的公式を利用する方法

ご存知の通り、自然数の二乗和は以下の公式で表すことができます。

n * (n + 1) * (2 * n + 1) // 6

この公式を使えば、ループ処理を行わずにO(1)の計算量で答えを求めることができるため、非常に効率的です。大きなnに対しても高速に動作します。

コード例

def squaresum(n):
    return (n * (n + 1) * (2 * n + 1)) // 6

# メイン処理
n = 10
print(squaresum(n))

出力結果

385

n = 10の場合、公式により10 × 11 × 21 ÷ 6 = 385となり、正しい結果が得られています。

まとめ

この記事では、最初のn個の自然数の二乗和を求める2つのアプローチについて学びました。小さな値や学習目的には繰り返し処理が分かりやすく、パフォーマンスを重視する場合や大きな入力値を扱う場合は数学的公式を利用する方法が最適です。用途に応じて適切な手法を選択しましょう。