Pythonの特異値分解（SVD）で行列のランクを求める方法｜ランク不足行列の判定例

Pythonで配列の行列ランクを特異値分解（SVD）の手法により求めるには、numpy.linalg.matrix_rank()メソッドを使用します。配列のランクとは、許容誤差（tol）よりも大きい特異値の個数として定義されます。

第1引数のAには、入力となるベクトルまたは行列のスタックを渡します。

第2引数のtolは、SVDの値がゼロとみなされる閾値です。tolをNone（省略）にした場合、SをMの特異値を持つ配列、epsをSのデータ型におけるイプシロン値とすると、tolは「S.max() * max(M, N) * eps」に自動的に設定されます。

第3引数のhermitianをTrueにすると、Aはエルミート行列であると仮定され、特異値をより効率的な方法で計算できるようになります。デフォルト値はFalseです。

実装の手順

ステップ1：必要なライブラリをインポートする

import numpy as np
from numpy.linalg import matrix_rank

ステップ2：配列を作成する

ここでは np.eye(5) を使って5×5の単位行列を作成します。

arr = np.eye(5)

ステップ3：配列を表示する

print("Our Array...\n",arr)

ステップ4：次元数を確認する

print("\nDimensions of our Array...\n",arr.ndim)

ステップ5：データ型を確認する

print("\nDatatype of our Array object...\n",arr.dtype)

ステップ6：形状を確認する

print("\nShape of our Array object...\n",arr.shape)

ステップ7：matrix_rank()でランクを求める

numpy.linalg.matrix_rank()メソッドを使って、特異値分解に基づく行列ランクを取得します。さらに、対角成分の1つを0に変更してランク不足行列（ランク落ちした行列）にした場合のランクの変化も確認します。

print("\nRank...\n",matrix_rank(arr))
arr[-1,-1] = 0.
print("\nUpdated Rank (Rank-Deficit Matrix)...\n",matrix_rank(arr))

コード例全体

import numpy as np
from numpy.linalg import matrix_rank

# 配列を作成
arr = np.eye(5)

# 配列を表示
print("Our Array...\n",arr)

# 次元数を確認
print("\nDimensions of our Array...\n",arr.ndim)

# データ型を確認
print("\nDatatype of our Array object...\n",arr.dtype)

# 形状を確認
print("\nShape of our Array object...\n",arr.shape)

# 特異値分解（SVD）の手法で行列ランクを求める
print("\nRank...\n",matrix_rank(arr))
arr[-1,-1] = 0.
print("\nUpdated Rank (Rank-Deficit Matrix)...\n",matrix_rank(arr))

実行結果

Our Array...
[[1. 0. 0. 0. 0.]
[0. 1. 0. 0. 0.]
[0. 0. 1. 0. 0.]
[0. 0. 0. 1. 0.]
[0. 0. 0. 0. 1.]]

Dimensions of our Array...
2

Datatype of our Array object...
float64

Shape of our Array object...
(5, 5)

Rank...
5

Updated Rank (Rank-Deficit Matrix)...
4

まとめ

numpy.linalg.matrix_rank()を使えば、特異値分解に基づいて行列のランクを簡単に求められます。5×5の単位行列はランク5ですが、対角要素を1つ0に変更すると線形独立な行・列が減少し、ランク4のランク不足行列になります。数値計算や機械学習の前処理などで行列のランクを判定したい場面で、ぜひ活用してみてください。