Python NumPyで特定の次数の疑似ファンデルモンド行列を生成する方法

特定の次数の疑似ファンデルモンド行列（Pseudo-Vandermonde行列）を生成するには、PythonのNumPyで提供されている polynomial.polyvander2d() 関数を使用します。このメソッドは、指定した次数 deg とサンプル点 (x, y) に基づく疑似ファンデルモンド行列を返します。

パラメータ x と y は点の座標を表す配列で、すべて同じ形状である必要があります。データ型（dtype）は、要素に複素数が含まれるかどうかに応じて、float64 または complex128 のいずれかに自動的に変換されます。また、スカラー値は1次元配列へと変換されます。パラメータ deg は [x_deg, y_deg] の形式で、各変数の最大次数を指定するリストです。

手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial.polynomial import polyvander2d

numpy.array() メソッドを使って、同じ形状を持つ点座標の配列を作成します。

x = np.array([1, 2])
y = np.array([3, 4])

作成した配列を表示します。

print("Array1...\n",x)
print("\nArray2...\n",y)

それぞれの配列のデータ型を確認します。

print("\nArray1 datatype...\n",x.dtype)
print("\nArray2 datatype...\n",y.dtype)

両方の配列の次元数をチェックします。

print("\nDimensions of Array1...\n",x.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",y.ndim)

両方の配列の形状をチェックします。

print("\nShape of Array1...\n",x.shape)
print("\nShape of Array2...\n",y.shape)

特定の次数の疑似ファンデルモンド行列を生成するには、NumPyの polyvander2d() を呼び出します。

x_deg, y_deg = 2, 3
print("\nResult...\n",polyvander2d(x,y, [x_deg, y_deg]))

完全なコード例

import numpy as np
from numpy.polynomial.polynomial import polyvander2d

# numpy.array() メソッドで同じ形状の点座標配列を作成
x = np.array([1, 2])
y = np.array([3, 4])

# 配列を表示
print("Array1...\n",x)
print("\nArray2...\n",y)

# データ型を表示
print("\nArray1 datatype...\n",x.dtype)
print("\nArray2 datatype...\n",y.dtype)

# 両方の配列の次元数を確認
print("\nDimensions of Array1...\n",x.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",y.ndim)

# 両方の配列の形状を確認
print("\nShape of Array1...\n",x.shape)
print("\nShape of Array2...\n",y.shape)

# 特定の次数の疑似ファンデルモンド行列を生成
# このメソッドは、次数 deg とサンプル点 (x, y) に基づく疑似ファンデルモンド行列を返す
x_deg, y_deg = 2, 3
print("\nResult...\n",polyvander2d(x,y, [x_deg, y_deg]))

出力結果

Array1...
    [1 2]

Array2...
    [3 4]

Array1 datatype...
int64

Array2 datatype...
int64

Dimensions of Array1...
1

Dimensions of Array2...
1

Shape of Array1...
(2,)

Shape of Array2...
(2,)

Result...
    [[  1.  3.  9.  27.   1.  3.  9.  27.   1.  3.  9.  27.]
     [  1.  4.  16.  64.   2.  8.  32.  128.   4.  16.  64.  256.]]

まとめ

このように、polyvander2d() を使えば、2変数の多項式近似や最小二乗フィッティングなどで必要となる疑似ファンデルモンド行列を簡単に生成できます。出力される行列の各行は、対応するサンプル点 (x, y) における単項式 x^i * y^j の値を並べたものになっています。次数 [x_deg, y_deg] を変更することで、任意の次数の行列を柔軟に作成できます。