Pythonのeinsum()でベクトルの内積を計算する方法｜アインシュタインの縮約記法の使い方

Pythonでアインシュタインの縮約記法（Einstein summation convention）を使ってベクトルの内積を計算するには、NumPyの numpy.einsum() メソッドを使用します。第1引数は「添字（subscript）」で、計算に使用する添字ラベルをカンマ区切りの文字列として指定します。第2引数は「オペランド（operands）」で、演算の対象となる配列を渡します。

einsum() メソッドは、指定されたオペランドに対してアインシュタインの縮約記法に基づく評価を行います。この記法を活用すると、多次元配列を扱う線形代数の一般的な演算の多くを、非常にシンプルな形式で表現できます。暗黙モードでは、einsum がこれらの計算を自動的に処理してくれます。

さらに、明示モードを使用すると、特定の添字ラベルについての総和を無効化したり強制したりできるため、古典的なアインシュタインの縮約記法には分類されないような配列操作も柔軟に実行できます。

手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np

次に、arange() メソッドを使ってNumPy配列を作成します。

arr = np.arange(4)

作成した配列を表示します。

print("Our Array...\n",arr)

配列の次元数を確認します。

print("\nDimensions of our Array...\n",arr.ndim)

データ型を取得します。

print("\nDatatype of our Array object...\n",arr.dtype)

配列の形状（shape）を確認します。

print("\nShape of our Array object...\n",arr.shape)

ここまで準備ができたら、numpy.einsum() メソッドを使って、アインシュタインの縮約記法によるベクトルの内積を計算します。添字として 'i,i' を指定し、同じ配列を2つのオペランドとして渡すことで、各要素同士の積の総和（＝内積）が求まります。

print("\nResult (inner product)...\n",np.einsum('i,i', arr, arr))

サンプルコード

import numpy as np

# arange() メソッドでNumPy配列を作成
arr = np.arange(4)

# 配列を表示
print("Our Array...\n",arr)

# 次元数を確認
print("\nDimensions of our Array...\n",arr.ndim)

# データ型を取得
print("\nDatatype of our Array object...\n",arr.dtype)

# 形状を確認
print("\nShape of our Array object...\n",arr.shape)

# numpy.einsum() でアインシュタインの縮約記法により内積を計算
print("\nResult (inner product)...\n",np.einsum('i,i', arr, arr))

実行結果

Our Array...
[0 1 2 3]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
int64

Shape of our Array object...
(4,)

Result (inner product)...
14

このように、0〜3の4要素を持つ配列の場合、内積は 0×0 + 1×1 + 2×2 + 3×3 = 14 として正しく計算されていることがわかります。einsum() を使えば、行列の積や転置など、より複雑なテンソル演算も同じ記法で簡潔に記述できるため、NumPyでの数値計算において非常に強力なツールとなります。